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中考数学压轴题精选含详细答案03
目 录
1.3 因动点产生的直角三角形问题
例1 2012年广州市中考第24题
例2 2012年杭州市中考第22题
例3 2011年沈阳市中考第25题
例4 2011年浙江省中考第23题
例5 2010年北京市中考第24题
例6 2009年嘉兴市中考第24题
例7 2008年河南省中考第23题
1.3 因动点产生的直角三角形问题
例1 2012年广州市中考第24题
如图1,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求点A、B的坐标;
(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;
(3)若直线l过点E(4, 0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12广州24”,拖动点M在以AB为直径的圆上运动,可以体验到,当直线与圆相切时,符合∠AMB=90°的点M只有1个.
请打开超级画板文件名“12广州24”,拖动点M在以AB为直径的圆上运动,可以体验到,当直线与圆相切时,符合∠AMB=90°的点M只有1个.
思路点拨
1.根据同底等高的三角形面积相等,平行线间的距离处处相等,可以知道符合条件的点D有两个.
2.当直线l与以AB为直径的圆相交时,符合∠AMB=90°的点M有2个;当直线l与圆相切时,符合∠AMB=90°的点M只有1个.
3.灵活应用相似比解题比较简便.
满分解答
(1)由,
得抛物线与x轴的交点坐标为A(-4, 0)、B(2, 0).对称轴是直线x=-1.
(2)△ACD与△ACB有公共的底边AC,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,点B、D到直线AC的距离相等.
过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D,在AC的另一侧有对应的点D′.
设抛物线的对称轴与x轴的交点为G,与AC交于点H.
由BD//AC,得∠DBG=∠CAO.所以.
所以,点D的坐标为.
因为AC//BD,AG=BG,所以HG=DG.
而D′H=DH,所以D′G=3DG.所以D′的坐标为.
图2 图3
(3)过点A、B分别作x轴的垂线,这两条垂线与直线l总是有交点的,即2个点M.
以AB为直径的⊙G如果与直线l相交,那么就有2个点M;如果圆与直线l相切,就只有1个点M了.
联结GM,那么GM⊥l.
在Rt△EGM中,GM=3,GE=5,所以EM=4.
在Rt△EM1A中,AE=8,,所以M1A=6.
所以点M1的坐标为(-4, 6),过M1、E的直线l为.
根据对称性,直线l还可以是.
考点伸展
第(3)题中的直线l恰好经过点C,因此可以过点C、E求直线l的解析式.
在Rt△EGM中,GM=3,GE=5,所以EM=4.
在Rt△ECO中,CO=3,EO=4,所以CE=5.
因此三角形△EGM≌△ECO,∠GEM=∠CEO.所以直线CM过点C.
例2 2012年杭州市中考第22题
在平面直角坐标系中,反比例函数与二次函数y=k(x2+x-1)的图象交于点A(1,k)和点B(-1,-k).
(1)当k=-2时,求反比例函数的解析式;
(2)要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大,求k应满足的条件以及x的取值范围;
(3)设二次函数的图象的顶点为Q,当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时,求k的值.
动感体验
请打开几何画板文件名“12杭州22”,拖动表示实数k的点在y轴上运动,可以体验到,当k<0并且在抛物线的对称轴左侧,反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大.观察抛物线的顶点Q与⊙O的位置关系,可以体验到,点Q有两次可以落在圆上.
请打开超级画板文件名“12杭州22”,拖动表示实数k的点在y轴上运动,可以体验到,当k<0并且在抛物线的对称轴左侧,反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大.观察抛物线的顶点Q与⊙O的位置关系,可以体验到,点Q有两次可以落在圆上.
思路点拨
1.由点A(1,k)或点B(-1,-k)的坐标可以知道,反比例函数的解析式就是.题目中的k都是一致的.
2.由点A(1,k)或点B(-1,-k)的坐标还可以知道,A、B关于原点O对称,以AB为直径的圆的圆心就是O.
3.根据直径所对的圆周角是直角,当Q落在⊙O上是,△ABQ是以AB为直径的直角三角形.
满分解答
(1)因为反比例函数的图象过点A(1,k),所以反比例函数的解析式是.
当k=-2时,反比例函数的解析式是.
(2)在反比例函数中,如果y随x增大而增大,那么k<0.
当k<0时,抛物线的开口向下,在对称轴左侧,y随x增大而增大.
抛物线y=k(x2+x+1)=的对称轴是直线.
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