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中考数学图像平移
三、解答题
1. (2012湖北武汉12分)如图1,点A为抛物线C1:的顶点,点B的坐标为(1,0),直线AB交抛物线C1于另一点C.
(1)求点C的坐标;
(2)如图1,平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D,交抛物线C1于点E,平行于y轴的直线x=a
交直线AB于F,交抛物线C1于G,若FG:DE=4∶3,求a的值;
(3)如图2,将抛物线C1向下平移m(m>0)个单位得到抛物线C2,且抛物线C2的顶点为点P,交x轴
于点M,交射线BC于点N,NQ⊥x轴于点Q,当NP平分∠MNQ时,求m的值.
图1 图2
【答案】解:(1)∵当x=0时,y=-2。∴A(0,-2)。
设直线AB的解析式为,则,解得。
∴直线AB的解析式为。
∵点C是直线AB与抛物线C1的交点,
∴,解得(舍去)。
∴C(4,6)。
(2)∵直线x=3交直线AB于点D,交抛物线C1于点E,
∴,∴DE=。
∵FG:DE=4∶3,∴FG=2。
∵直线x=a交直线AB于点F,交抛物线C1于点G,
∴。
∴FG=。
解得。
(3)设直线MN交y轴于点T,过点N作NH⊥y轴于点H。
设点M的坐标为(t,0),抛物线C2的解析式为。
∴。∴。
∴。∴P(0,)。
∵点N是直线AB与抛物线C2的交点,
∴,解得(舍去)。
∴N()。
∴NQ=,MQ=。∴NQ=MQ。∴∠NMQ=450。
∴△MOT,△NHT都是等腰直角三角形。∴MO=TO,HT=HN。
∴OT=-t,。
∵PN平分∠MNQ,∴PT=NT。
∴,解得(舍去)。
∴。∴。
【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,解二元二次方程组,平移的性质,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理,角平分线的性质,平行的性质。
【分析】(1)由点A在抛物线C1上求得点A的坐标,用待定系数法求得直线AB的解析式;联立直线AB和抛物线C1即可求得点C的坐标。
(2)由FG:DE=4∶3求得FG=2。把点F和点G的纵坐标用含a的代数式表示,即可得等式
FG=,解之即可得a的值。
(3)设点M的坐标为(t,0)和抛物线C2的解析式,求得t和m的关系。求出点P和点N的坐标(用t的代数式表示),得出△MOT,△NHT都是等腰直角三角形的结论。从而由角平分线和平行的性质得到PT=NT,列式求解即可求得t,从而根据t和m的关系式求出m的值。
2. (2012江苏南通14分)如图,经过点A(0,-4)的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点B(-,0)和C,O为坐标原点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将抛物线y=x2+bx+c向上平移个单位长度、再向左平移m(m>0)个单位长度,得到新抛物
线.若新抛物线的顶点P在△ABC内,求m的取值范围;
(3)设点M在y轴上,∠OMB+∠OAB=∠ACB,求AM的长.
【答案】解:(1)将A(0,-4)、B(-2,0)代入抛物线y=x2+bx+c中,得:
,解得,。
∴抛物线的解析式:y=x2-x-4。源:学科网ZXXK]
(2)由题意,新抛物线的解析式可表示为:,
即:。它的顶点坐标P(1-m,-1)。
由(1)的抛物线解析式可得:C(4,0)。
∴直线AB:y=-2x-4;直线AC:y=x-4。
当点P在直线AB上时,-2(1-m)-4=-1,解得:m=;
当点P在直线AC上时,(1-m)+4=-1,解得:m=-2;
又∵m>0,
∴当点P在△ABC内时,0<m< 。
(3)由A(0,-4)、B(4,0)得:OA=OC=4,且△OAC是等腰直角三角形。
如图,在OA上取ON=OB=2,则∠ONB=∠ACB=45°。
∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB,
即∠ONB=∠OMB。
如图,在△ABN、△AM1B中,
∠BAN=∠M1AB,∠ABN=∠AM1B,
∴△ABN∽△AM1B,得:AB2=AN?AM1;
由勾股定理,得AB2=(-2)2+42=20,
又AN=OA-ON=4-2=2,
∴AM1=20÷2=
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