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中考第一轮专题复习五 相似三角形复习 一．知识框架图 二．知识梳理 （一）线段的比 1．两条线段的比：在同一长度单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比． 2．成比例线段：对于四条线段、、、，如果（或），那么 、、、成比例线段，简称比例线段. 3．比例的性质： ①基本性质：. ②合比性质： . ③等比性质：，. ④ 黄金分割 如果点P把线段AB分割成AP和PB（APPB）两段，其中AP是AB和PB的比例中项，那么称这种分割为黄金分割. . （；长=全；短=长） （二）平行线分线段成比例定理及其推论：定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条线段平行于三角形的第三边． 三角形的重心定理:三角形的重心到一个顶点的距离,等于它到 这个顶点对边中点的距离的两倍. ∵G是△ABC的重心，∴ （三）相似三角形的判定方法： 1.概念：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 2.预备定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 ． 3.判定定理： ⑴两角对应相等，两三角形相似；⑵两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似；⑶三边对应成比例，两三角形相似； 4．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角对应成比例，那么这两个直角三角形相似． （四）相似三角形的性质： 1．相似三角形的对应边成比例，对应角相等；2．相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线)等于相似比；3．相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 三．典型例题 例题1 填空 1．上海与南京的实际距离约350千米，在比例尺为1：5000000的地图上，上海与南京的图上距离约 厘米 2．判断下列图形：①所有的矩形都相似；②所有的直角三角形都相似；③有一个角是100°的所有等腰三角形都相似；④有一个角是50°的所有等腰三角形都相似⑤所有等腰直角三角形都相似；⑥所有菱形都相似．⑦两个等边三角形一定相似；⑧有一个角相等的等腰三角形都相似，⑨有一个角为60°的两个等腰三角形相似；其中一定相似的有： ③⑤⑦⑨3．设2y－3x＝0（y≠0），则＝ 4．已知线段a=2cm，b=8cm，那么线段a和b的比例中项为 cm．已知，线段AB=10cm,C是AB的黄金分割点,且AC＞BC，则AC= cm．在ABC中，点G为重心，若BC边上的高为6，则点G到BC边的距离为 ．7．如图，已知D为△ABC的边AB上的一点，且∠ACD=∠B，S△ACD∶S△DBC=1∶3．那么的值为______________． 8．= ． 9．在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的两点，且DE∥BC，AD∶BD=2∶1，四边形BCED的面积为25，那么△ABC的面积为___________．中，，，，是边的中点，是BC边上一动点（点不与、重合），若以、、为顶点的三角形与相似，则线段 . 3或. 例题2（学科基本要求P100页例3） 已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边BC上的一点，且AE∥CD，∠BDE=∠DAE． 求证：（1）△BDE∽△BCD； （2）． 分析：要证明△BDE∽△BCD，由于∠DBE=∠CBD，即 ∠1=∠1，因此只要再寻找一个角对应相等． 证明：（1）∵AD∥BC，AE∥CD， ∴四边形ADCE是平行四边形，得∠2=∠C． ∵∠2=∠3， ∴∠3=∠C． ∵∠1=∠1， ∴△BDE∽△BCD. （2）∵△BDE∽△BCD， ∴， ∴． 【小结】证明三角形相似的基本思路： 例题3 （学科基本要求P101页例4） 如图，已知△ABC中，AB=AC，CD是边AB上的高，且CD=2，AD=1，四边形BDEF是正方形．△CEF和△BDC相似吗？试证明你的结论． 分析：从题目中可知△CEF和△BDC是直角三角形，要 证明两个直角三角形相似，首先考虑找出一对锐角相等， 而此题中无法得出一对相等的锐角，那么就去找两条直角 边对应成比例或斜边和一条直角边对应成比例． 答： △CEF和△BDC相似． 证明：∵四边形BDEF是正方形， ∴∠CEF =∠BDC=90°, △CEF和△BDC是直角三角形． 在Rt△ADC中，AD=1，CD=2， ∴AB=AC=． ∴， ． ∴．