中考题数学分类全集144旋转2.doc

24、（2011?包头）在Rt△ABC中，AB=BC=5，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处，将三角板绕点O旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC或其延长线于E，F两点，如图（1）与（2）是旋转三角板所得图形的两种情况． （1）三角板绕点O旋转，△OFC是否能成为等腰直角三角形？若能，指出所有情况（即给出△OFC是等腰直角三角形时BF的长），若不能，请说明理由； （2）三角板绕点O旋转，线段OE和OF之间有什么数量关系？用图（1）或（2）加以证明； （3）若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处（如图（3）），当AP：AC=1：4时，PE和PF有怎样的数量关系？证明你发现的结论． 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质。 分析：（1）由题意可知，①当F为BC的中点时，由AB=BC=5，可以推出CF和OF的长度，即可推出BF的长度，②当B与F重合时，根据直角三角形的相关性质，即可推出OF的长度，即可推出BF的长度； （2）连接OB，由已知条件推出△OEB≌△OFC，即可推出OE=OF； （3）过点P做PM⊥AB，PN⊥BC，结合图形推出△PNF∽△PME，△APM∽△PNC，继而推出PM：PN=PE：PF，PM：PN=AP：PC，根据已知条件即可推出PA：AC=PE：PF=1：4． 解答：解：（1）△OFC是能成为等腰直角三角形， ①当F为BC的中点时， ∵O点为AC的中点， ∴OF∥AB， ∴CF=OF=， ∵AB=BC=5， ∴BF=， ②当B与F重合时， ∵OF=OC=， ∴BF=0； （2）如图一，连接OB， ∵由（1）的结论可知，BO=OC=， ∵∠EOB=∠FOC，∠EBO=∠C， ∴△OEB≌△OFC， ∴OE=OF． （3）如图二，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC， ∵∠EPM+∠EPN=∠EPN+∠FPN=90°， ∴∠EPM=∠FPN， ∵∠FMP=∠FNP=90°， ∴△PNF∽△PME， ∴PM：PN=PE：PF， ∵△APM和△PNC为等腰三角形， ∴△APM∽△PNC， ∴PM：PN=AP：PC， ∵PA：AC=1：4， ∴PE：PF=1：4． 点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质，解题的关键在于作好辅助线，构建相似三角形和全等的三角形． 25、在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠DOC=α，将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′，AC′与BD′相交于点M． （1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想； （2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，已知AC=BD，请猜想此时AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想； （3）当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，AD∥BC，此时（1）AC′与BD′的数量关系是否成立？∠AMB与α的大小关系是否成立？不必证明，直接写出结论． 25. 解：（1）AC′=BD′，∠AMB=α， 证明：在矩形ABCD中，AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD， ∴OA=OC=OB=OD， 又∵OD=OD′，OC=OC′， ∴OB=OD′=OA=OC′， ∵∠D′OD=∠C′OC， ∴180°-∠D′OD=180°-∠C′OC， ∴∠BOD′=∠AOC′， ∴△BOD′≌△AOC′， ∴BD′=AC′， ∴∠OBD′=∠OAC′， 设BD′与OA相交于点N， ∴∠BNO=∠ANM， ∴180°-∠OAC′-∠ANM=180°-∠OBD′-∠BNO， 即∠AMB=∠AOB=∠COD=α， 综上所述，BD′=AC′，∠AMB=α， （2）AC′=kBD′，∠AMB=α， 证明：在平行四边形ABCD中，OB=OD，OA=OC， 又∵OD=OD′，OC=OC′， ∴OB：OA=OD′：C′， ∵∠D′OD=∠C′OC， ∴180°-∠D′OD=180°-∠C′OC， ∴∠BOD′=∠AOC′， ∴△BOD′∽△AOC′， ∴BD′：AC′=OB：OA=BD：AC， ∵AC=kBD， ∴AC′=kBD′， ∵△BOD′∽△AOC′， 设BD′与OA相交于点N， ∴∠BNO=∠ANM， ∴180°-∠OAC′-∠ANM=180°-∠OBD′-∠BNO，即∠AMB=∠AOB=α， 综上所述，AC′=kBD′，∠AMB=α， （3）AC′=BD′成立，∠AMB=α不成立． 20、（2011?新疆）如图，在△ABC中，∠A=90°． （1）用尺规作图的方法，作出△ABC绕点A逆时针旋转45°后的