九年级数学(上)第一章特殊平行四边形自主学习.docVIP

九年级数学（上）第一章特殊平行四边形暑假复习 【一】知识点归纳： 一、．矩形、1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．矩形的性质：(1)对边平行且相等。(2)矩形的四个角都是直角． (3)矩形的对角线相等．(4)矩形是轴对称、中心对称图形． 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、矩形的图形分解 OA=OB=OC=OD 5．矩形的判定(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形． (2)有三个角是直角的四边形是矩形． (3)对角线相等的平行四边形是矩形． 注意： ①用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说有一角是直角的四边形，不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形． ②用定理（3）证明一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线相等；二是平行四边形．也就说明：两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形． 二、菱形1．定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 注意：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等． 2．菱形的性质(1)具有平行四边形的一切性质．(2)菱形的四条边都相等． (3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． (4)菱形是轴对称、中心对称图形． (5) 菱形面积＝底×高＝对角线乘积的一半． 3．菱形的判定： (1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(2四边都相等的四边形是菱形．(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 菱形的判定注意：①对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须加上平行四边形这个条件它才是菱形． 三．正方形1．正方形的概念：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 从正方形的定义可知正方形既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，所以既是矩形又是菱形的四边形是正方形． 矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形， 它们的包含关系如图： 2．正方形的性质(1)正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． (2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等． (3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． (4)正方形是轴对称图形，有4条对称轴． (5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形．(6)正方形一条对角线上一点和另一条对角线的两端距离相等． (7)正方形的面积：若正方形的边长为，对角线长为，则．3．正方形的判定(1)判定一个四边形为正方形主要根据定义，途径有两种： ①先证它是矩形，再证它有一组邻边相等． ②先证它是菱形，再证它有一个角为直角． (2)判定正方形的一般顺序：①先证明它是平行四边形，②再证明它是菱形(或矩形)；③最后证明它是矩形(或菱形)． 正方形的面积=a2= L2 四、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。、 （2）过三角形一边的中点，平行于另一边的直线，必平分第三边。 五、中点四边形 1、连接任何四边形各边中点所得的四边形都是平行四边形 2、中点四边形的形状只与原四边形的对角线相等和垂直有关，若不相等也不垂直是平行四边形；若相等是菱形；若垂直是矩形；若相等且垂直是正方形。 六补充：梯形 1．梯形的相关概念（1）一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．梯形中平行的两边叫做梯形的底． 注意：通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，梯形的上下底是以长短区分的，不是指位置说的．梯形中不平行的两边叫做梯形的腰．梯形两底的距离叫做梯形的高． 两腰相等的梯形叫做等腰梯形．一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形． （2）梯形一般如下分类： （3）解决梯形问题的基本思路： 梯形问题 三角形或平行四边形问题． 这种思路常通过平移或旋转来实现． 2．梯形的判定(1)定义法：判定四边形中①一组对边平行；②另一组对边不平行． (2)有一组对边平行且不相等的四边形是梯形． 注意：此判定可由梯形定义和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出． 3．等腰梯形的性质(1)等腰梯形两腰相等、两底平行．(2)等腰梯形在同一底上的两个角相等． (3)等腰梯形的对角线相等．(4)等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴． 注意：等腰梯形在同一底上的两个角相等，不能说成：①等腰梯形两底上的角相等；②等腰梯形同一底上的两底角相等． 4．等腰梯形的判定(1)两腰相等的梯形是等腰梯形．(2)在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．(3)对角线相等的梯形是等腰梯形． 5．梯形的面积(1)如图，．(2)梯形中有关图形面积：