九年级数学中考复习专题以函数为基架的的综合题点评(Word版含参考解答).docVIP

以函数为基架的综合题例析 赵化中学 郑宗平 “函数”是整个初中数学中最核心的内容之一，也是最重要的基础知识和数学思想，初中“函数”的学习是高中数学“函数”学习的“奠基性工程”， 所以“函数为基架的综合题”是历年中考的热点题型。 “函数为基架的综合题”主要是考查同学们的函数思想、数形结合思想、分类讨论的思想、转化思想。函数型的综合题主要有：几何与函数相结合型、坐标与几何、方程与函数相结合、不等式与函数、动点问题、存在性问题等综合问题。解函数型综合题主要是函数为主线，建立函数模型并利用函数的图象及性质、方程、不等式、几何的相关理论（如：相似形、全等形、三角函数、圆的基本性质、勾股定理等）来综合求解。 例1、如图，抛物线与x轴、y轴分别交于A(-1，0)、B(3，0)、C(0,3)三点，其顶点为为D. ⑴、求经过A、B、C三点的抛物线的解析式； ⑵、求四边形ABDC的面积； ⑶、试判断△BCD与△COA是否相似？若相似写出证明过程； 若不相似请说明理由. 破题分析: ⑴、本题求解析式有两条途径可供选择：一是 设成“一般式”把三点的坐标代入列成三元 一次方程组；可以求得解析式;二是设成“交点式”即，本问采用“交点式”更快捷；把A(-1，0)、B(3，0)代入，把C(0,3)代入求出a的值，可以求得解析式;⑵、求出D点的坐标，用“割补法”分割四边形为梯形和三角形；⑶、利用相似的判断可作出多种选择. 略解：⑴、； ⑵、由⑴可知，∴点D的坐标（1,4）；设对称轴与x轴的交点为E（见图）。 ⑶、证明：过点D作y轴的垂线，垂足为F（见图） 点评：略. 变式：在例1的条件下请求出的面积. 例2、如图、如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点(点A、B分别在原点O的左、右两侧)，以OA、OB为直径作⊙O1和⊙O2 ⑴、⊙O1和⊙O2能否为等圆?若能，求出其半径的长度；若不能，请说明理由； ⑵、若抛物线向上平移2个单位（抛物线与x轴的交点仍用A、B表示），此时以以OA、OB为直径作⊙O1和⊙O2分别为S1、S2，且4 S1-16 S2=5π，求出平移后所得的抛物线的解析式； ⑶、由⑵所得的抛物线与x轴交于C，同时和⊙和⊙O2的相切的直线MN分别交x轴和y轴于p、Q,M、N为切点，求△CPQ的面积？ 破题分析: ⑴、本问可以视为是一个存在性的提问，存 在性问题的一般思路是先假设存在，然后从假 设出发进行推导，若推导出现“矛盾”， 则不 存在；若未出现“矛盾”，则存在；本问就则可 以先假设果⊙O1和⊙O2为等圆进行推导. ⑵、根据题中条件，⊙O1和⊙O2半径和A、 B两点密切相关，所以本问的切入点应是平移 后的A、B两点的坐标，因为通过坐标可以求 出⊙O1和⊙O2的用m表示的半径，然后以4 S1-16 S2=5π建立以m为未知数的方程，从而使问题得到解决；因为A、B两点是平移后抛物线与x轴的交点，所以令平移后抛物线的，解关于x为未知数的方程是本问的一个关键。 ⑶、△CPQ的顶点都在坐标轴上，位置较为特殊，所更容易联想到三个顶点的坐标来得到△CPQ的底和高；点C的坐标根据⑵问的结论容易得出，根据条件求P、Q的坐标要困难些，但我们发现据⑵问的结论还可以求出⊙O1和⊙O2的半径，作出如图所示的辅助线后，以切线的性质、切线长定理、勾股定理以及平行线分线段对应成比例“牵线搭桥”，可以求出MN和O1P的长度，进一步求出OQ和OP的长度，免去求坐标的繁琐过程，从而使本问的结论获得解决。 略解： ⑴、如果⊙O1和⊙O2为等圆，则OA=OB，设A、B两点的坐标为,根据题中的条件和点的坐标的意义容易得出：; 令y=0,则, 根据“韦达定理”可知： 不等式组无解 说明假设的⊙O1和⊙O2为等圆是不成立的，从而判断出OA≠OB，所以⊙O1和⊙O2不能为等圆。 ⑵、把抛物线,向上平移两个单位后可得：；令建立方程：，解得：根据坐标可知：，由4 S1-16 S2=5π可得方程： ，解得：；把m=0,代入可得解析式：. ⑶、由⑵问可以求出⊙O1的半径：，⊙O2的半径：，根据图中的辅助线作法可求：，根据切线长定理可知：OQ=MQ, OQ=NQ,所以：;根据切线的性质可知：O1M⊥PQ, O2M⊥PQ,所以O1M∥O2M， 根据“平行线分线段对应成比例”可得： , 解得：, ;抛物线与y轴交于C(0,3), ; . 点评：略. 变式：在例2的条件下求出求出直线PC和直线PQ的解析式。 如图，在平面直角坐标系xoy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y的负半轴和x的正半轴