九年级数学期末考试题.docVIP

1.△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B． （1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形． （2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论． （3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的时，求线段EF的长． （1）图（1）中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE． 证明：∵AB=AC，D为BC的中点， ∴AD⊥BC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD， 又∵∠MDN=∠B， ∴△ADE∽ABD， 同理可得：△ADE∽△ACD， ∵∠MDN=∠C=∠B， ∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDC=90°， ∠B=∠MDN， ∴∠BAD=∠EDC， ∵∠B=∠C， ∴△ABD∽△DCE， ∴△ADE∽△DCE， （2）△BDF∽△CED∽△DEF， 证明：∵∠B+∠BDF+∠BFD=180° ∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°， 又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE， 由AB=AC，得∠B=∠C， ∴△BDF∽△CED， ∴． ∵BD=CD， ∴． 又∵∠C=∠EDF， ∴△BDF∽△CED∽△DEF． （3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H． ∵AB=AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，BD=BC=6． 在Rt△ABD中，AD2=AB2﹣BD2， ∴AD=8 ∴S△ABC=BC?AD=×12×8=48． S△DEF=S△ABC=×48=12． 又∵AD?BD=AB．DH， ∴DH===， ∵△BDF∽△DEF， ∴∠DFB=∠EFD ∵DG⊥EF，DH⊥BF， ∴DH=DG=． ∵S△DEF=×EF×DG=12， ∴EF==5． 2.如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C． 1.求抛物线的解析式 2.若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标 3.P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （1）设抛物线的解析式为， ∵抛物线过A（-2，0），B（-3，3），O（0，0）可得，解得，∴抛物线的解析式为； （2）①当AE为边时，∵A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，∴DE=AO=2，则D在x轴下方不可能，∴D在轴上方且DE=2，则D1（1，3），D2（﹣3，3）,②当AO为对角线时，则DE与AO互相平分，∵点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为-1，由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即C（-1，-1），故符合条件的点D有三个，分别是D1（1，3），D2（-3，3），C（-1，-1）。 （3）存在，如图：∵B（-3，3），C（-1，-1），根据勾股定理得： BO2=18，CO2=2，BC2=20，∴BO2+CO2=BC2，∴△BOC是直角三角形，假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形与△BOC相似，设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且，①若△AMP∽△BOC，则，即x+2=3（x2+2x）得：，x2=-2（舍去），当时，，即P（）；②若△PMA∽△BOC，则，即：x2+2x=3（x+2）得：x1=3，x2=-2（舍去）当x=3时，y=15，即P（3，15），故符合条件的点P有两个，分别是P（）或（3，15）。 小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼 为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离 小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45° 测得办公大楼底部点B的俯角为60° 已知办公大楼高46米 CD=10米 求点P到AD的距离 用含根号的式子表示 连接PA、PB，过点P作PM⊥AD于点M；延长BC，交PM于点N则∠APM=45°，∠BPM=60°，NM=10米设PM=x米在Rt△PMA中，AM=PM×tan∠APM=xtan45°=x（米）在Rt△PNB中，BN=PN×tan∠BPM=（x﹣10）tan60°=（x﹣10）（米）由AM+BN=46米，得x+（x﹣10）=46解得，，∴点P到AD的距离为米．（结果分母有理化为米也可） （2013?株洲）已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．（1）