二次函数综合题讲解.docVIP

综合题讲解 61.【2012吉林】 如图，在轴上有两点,（）.分别过点，点作轴的垂线，交抛物线于点、点.直线交直线于点，直线交直线于点,点、点的纵坐标分别记为、. 特例探究 填空： 当,时，=____,=______.当,时，=____,=______. 归纳证明 对任意,（）,猜想与的大小关系，并证明你的猜想 拓展应用. 若将“抛物线”改为“抛物线”,其它条件不变，请直接写出与的大小关系. 连接，．当时，直接写出和的关系及四边形的形状． [答案] 特例探究；.归纳证明 猜想.证明（略）拓展应用(1).(2)四边形是平行四边形． [考点] 一次函数、二次函数综合运用，函数图象上的点与函数解析式的关系，平行四边形的判定. [解析] 特例探究 当,时，，，所以直线的解析式为：；直线的解析式为：；此时 解，得.解，得. 所以，此时 当,时，，，所以直线的解析式为：；直线的解析式为：；此时 解，得.解，得. 所以，此时 归纳证明 猜想：对任意,（）,都有：. 证明：对任意,（）时，，，所以直线的解析式为：；直线的解析式为：；此时 解，得.解，得. 所以，此时. 拓展应用 (1)若将“抛物线”改为“抛物线”,其它条件不变，仍然有：. 此时，，，所以直线的解析式为：；直线的解析式为：；此时 解，得.解，得. 62.【2012济南】如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），与y轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D． （1）求抛物线的解析式； （2）求cos∠CAB的值和⊙O1的半径； （3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【考点】二次函数综合题． 【专题】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）如答图1所示，由△AOC为等腰直角三角形，确定∠CAB=45°，从而求出其三角函数值；由圆周角定理，确定△BO1C为等腰直角三角形，从而求出半径的长度； （3）如答图2所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点D坐标，进而求出点M的坐标和线段BM的长度；点B、P、C的坐标已知，求出线段BP、BC、PC的长度；然后利用△BMN∽△BPC相似三角形比例线段关系，求出线段BN和MN的长度；最后利用两点间的距离公式，列出方程组，求出点N的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0）， ∴， 解得a=1，b=4， ∴抛物线的解析式为：y=x2+4x+3． （2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x2+4x+3， ∵令x=0，得y=3， ∴C（0，3）， ∴OC=OA=3，则△AOC为等腰直角三角形， ∴∠CAB=45°， ∴cos∠CAB=． 在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=． 如答图1所示，连接O1B、O1B， 由圆周角定理得：∠BO1C=2∠BAC=90°， ∴△BO1C为等腰直角三角形， ∴⊙O1的半径O1B=BC=． （3）抛物线y=x2+4x+3=（x+2）2-1， ∴顶点P坐标为（-2，-1），对称轴为x= -2． 又∵A（-3，0），B（-1，0），可知点A、B关于对称轴x=2对称． 如答图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C（0，3）关于对称轴对称， ∴D（-4，3）． 又∵点M为BD中点，B（-1，0）， ∴M（，）， ∴BM=； 在△BPC中，B（-1，0），P（-2，-1），C（0，3）， 由两点间的距离公式得：BP=，BC=，PC=． ∵△BMN∽△BPC， ∴， 即， 解得：，MN． 设N（x，y），由两点间的距离公式可得： ， 解之得，， ∴点N的坐标为（，）或（，）． 【点评】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、圆的性质、相似三角形、勾股定理、两点间的距离公式等重要知识点，涉及的考点较多，试题难度较大．难点在于第（3）问，需要认真分析题意，确定符合条件的点N有两个，并画出草图；然后寻找线段之间的数量关系，最终正确求得点N的坐标． 63.【2012达州】如图1，在直角坐标系中，已知点A（0，2）、点B（－2，0），过点B和线段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE. （1）填空：点D的坐标为（ ），点E的坐标为（ ）. （2）若抛物线经过A、D、E三点，求该抛物线的解析式. （3）若正方形和抛物线均以每秒个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E 落在y轴上时，正方形和抛物线均停止运动. ①在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为s，求s关于平移时间t（秒）的函数关系