重庆大学土木工程弹性力学-02要点.ppt

习题：2—5，2--6 习题：2--7 习题：2—8，2--9 习题：2—10，2—11，2—13 习题：2—16，2—17，2--18 式（a）满足相容方程。 再验证，式（a）是否满足边界条件？ —— 满足 ——满足 ——近似满足 近似满足 结论：式（a）为正确解 代入相容方程： 上、下侧边界： 右侧边界： 左侧边界： §2-10 常体力情况下的简化 应力函数 1.常体力下平面问题的相容方程 令： —— 拉普拉斯（Laplace）算子 则相容方程可表示为： —— 平面应力情形 —— 平面应变情形 当体力 fx、fy 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即 或 （2-25） 2.常体力下平面问题的基本方程 （1）平衡方程 （2-2） （2）相容方程（形变协调方程） （3）边界条件 （2-18） （4）位移单值条件 —— 对多连通问题而言。 讨论： （1） —— Laplace方程， 或称调和方程。 （2） 常体力下，方程中不含E、μ （a） 两种平面问题，计算结果 相同 ）不同。 （但 （b） 不同材料，具有相同外力和边界条件时，其计算结果相同。 —— 光弹性实验原理。 （3） 用平面应力试验模型，代替平面应变试验模型，为实验应力分析提供理论基础。 满足： 的函数 称为调和函数（解析函数）。 3、常体力下的应力函数 常体力下问题的基本方程： 边界条件、位移单值条件。 (a) (b) 式(a)为非齐次方程，其解： 全解 = 齐次方程通解 （1）平衡微分方程解的形式 (1) 特解 常体力下特解形式： +非齐次方程的特解。 (1) (2) (3) (2) 通解 式(a) 的齐次方程： (c) (d) 的通解。 将式(d)第一式改写为 由微分方程理论，必存在一函数 A(x,y)，使得 (e) (f) 同理，将式(d)第二式改写为 (g) (h) 比较式( f )与(h)，有 也必存在一函数 B(x,y)，使得 (2) 通解 式(a) 的齐次方程： (d) 的通解。 由微分方程理论，必存在一函数 φ(x,y)，使得 (i) (j) 将式 (i)、(j) 代入 (e)、(f)、(g)、(h)，得通解 同理，将式(d)第二式改写为 (g) (h) 比较式( f )与(h)，有 也必存在一函数 B(x,y)，使得 由微分方程理论，必存在一函数 φ(x,y)，使得 (k) (2) 通解 式(a) 的齐次方程： (d) 的通解： (k) —— 对应于平衡微分方程的齐次方程通解。 (3) 全解 取特解为： 则其全解为： (2-26) —— 常体力下平衡方程（a）的全解。 由式（2-26）看：不管φ(x,y)是什么函数，都能满足平衡方程。 φ(x,y) —— 平面问题的应力函数 —— Airy 应力函数 （3）两类平面问题物理方程的转换： （2-16） —— 平面应变问题的物理方程 —— 平面应力问题的物理方程 （2-15） (1) 平面应力问题 平面应变问题 材料常数的转换为： (2) 平面应变问题 平面应力问题 材料常数的转换为： §2-6 边界条件 1. 弹性力学平面问题的基本方程 （1）平衡方程： （2-2） （2）几何方程： （2-9） （3）物理方程： (2-15 未知量数： 8个 方程数： 8个 结论： 在适当的边界条件下，上述8个方程可解。 2. 边界条件及其分类 边界条件： 建立边界上的物理量与内部物理量间的关系。 x y O q P 是力学计算模型建立的重要环节。 边界分类 （1）位移边界 （2）应力边界 （3）混合边界 —— 三类边界 （1）位移边界条件 位移分量已知的边界 —— 位移边界 用us 、 vs表示边界上的位移分量， 表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为： （2-17） —— 平面问题的位移边界条件 说明： 称为固定位移边界。 x y O q P （2）应力边界条件 给定面力分量 边界 —— 应力边界 x y O dx dy ds P A B px py N 由前面斜面的应力分析，得 式中取： 得到： （2-18） 式中： l、m 为边界外法线关于 x、y 轴的方向余弦。如： —— 平面问题的应力边界条件 垂直 x 轴的边界： 垂直 y 轴的边界： （3）混合边界条件 (1) 物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。 (2) 物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。如： 图(a)： —— 位移边界条件 —— 应力边界条件 图(b)： —— 位移边界条件