周力学量随时间的演化与对称性要点.ppt

力学量随时间的演化与对称性 在波函数?(x,t)所描写的态中，力学量A的平均值为 (1) (2) 一、力学量平均值随时间的变化 由薛定谔方程， ? 因为?是厄密算符 (3) 这就是力学量平均值随时间变化的公式。 若?不显含t，即: (4) 则有: 二、守恒量 如果?既不显含时间， ? 又与?对易 则有 即力学量在任何态?之下的平均值都不随时间改变。 (5) 在任意态?下， A的概率分布也不随时间改变。 运动恒量或守恒量 [?, ?]=0 同时可以证明： 式中 即为守恒量 在 态中的概率， 证明守恒量F其概率分布不随时间而变化 因为 ，故 具有共同本征函数系 ， 任意状态可表为 且概率分布函数 其中 为 时力学量的概率分布函数，所以 故有 所以 即守恒量A的概率分布不随时间而变化。 概括起来讲，对于Hamilton量?不含时的量子体系，如果力学量?既不显含时间，又与?对易（[?, ?]=0），则无论体系处于什么状态（定态或非定态），A的平均值及其测量的概率分布均不随时间改变。所以把A称为量子体系的一个守恒量。 守恒量有两个特点： (1). 在任何态?(t)之下的平均值都不随时间改变； (2). 在任意态?(t)下A的概率分布不随时间改变。 与经典力学守恒量不同，量子体系的守恒量并不一定取确定值，即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态。 一个体系在某时刻t是否处于某守恒量的本征态，要根据初始条 件决定。若在初始时刻(t=0)，守恒量A具有确定值，则以后任 何时刻它都具有确定值，即体系将保持在?的同一个本征态。 由于守恒量具有此特点，它的量子数称为好量子数。但是， 若初始时刻A并不具有确定值（这与经典力学不同），即?(0) 并非?的本征态，则以后的状态也不是?的本征态，即A也不 会具有确定值，但几率分布仍不随时间改变，其平均值也不 随时间改变。 量子力学中的守恒量的概念，与经典力学中守恒量概念不同。这实质上是不确定度关系的反映。 (b) 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。 例如，中心力场中的粒子，角动量的三个分量都守恒，但由于三个分量互相不对易，所以一般说来它们并不能同时取确定值（角动量等于零的态除外）。 三、举例 1、自由粒子动量守恒 自由粒子的哈密顿算符： 所以自由粒子的动量是守恒量。 所以粒子在中心力场中运动时，角动量平方和角动量分量 2、? 粒子在中心力场中运动：角动量守恒 又， 都是守恒量。 3、哈密顿不显含时间的体系能量守恒 ∵ 不显含t 又∵ ∴ ∴ 即 守恒（能量守恒）。 即空间反演算符，它的作用是把波函数中的 它是厄米算符，它的本征值只有 ， 即 四、宇称守恒 宇称算符 态函数的宇称: 宇称守恒 若体系哈密顿量具有空间反演不变性 则 即 ，亦即 是一个守恒量，或者说 描写的系统的宇称是不变的，称为宇称守恒定律。 1956年以前，人们一直认为自然界的各种基本相互作用过程都遵从宇称守恒，但是，后来杨振宁、李政道和吴健雄证实了在弱相互作用过程中宇称不守恒，从而使人类对自然界的对称性有了新的认识。 宇称守恒要求：状态波函数的奇偶性不随时间变化。 四、能级简并与守恒量的关系 定理：设体系有两个彼此不对易的守恒量， 则：体系能级一般是简并的。 证明： 推论：如果体系有一个守恒量F，而体系的某条能级 不简并（即对应于某能量本征值E只有一个本 征态），则 必为F的本征态。 证明： §4.2守恒量与对称性 德国数学家魏尔（H.Weyl,1885-1955）用严谨的概念描述对称性.他对上述现象作了如下表述： 若某图形通过镜面反射又回到自己，则该图形对该镜面是反射对称或双向对称的. 若某一图形围绕轴作任何转动均能回到自身，则该图形具有对轴的转动的对称性. （一）关于对称性 无论对艺术还是自然科学，对称性都是重要的研究对象. 20世纪初，人们认识了守恒定律和对称性的关系. 爱因斯坦在狭义相对论将反映时空对称性的相对性原理从力学推广于全部物理学，爱因斯坦用对称性研究引力.20世纪中，人们还看到规范对称性决定着各