大学物理第十七章题解.docVIP

第十七章 真空中的静电场 17-1．解 设等边三角形的边长为，则由顶点到中心的距离为；设顶点处电荷为，中心处电荷为，与反号．考虑到等边三角形的对称性，可知受其它三个电荷的合力为零，与的大小无关；顶点处三个电荷所受合力的大小相同． 上方顶点处电荷受其它三个电荷的作用力如图所示，合力为零要求 即 可求出． 17-2．电子所带电量最先是由密立根通过油滴实验测得的，其实验装置如图所示．一个很小的带电油滴在均匀电场中，调节、两端的电压，使作用在油滴上的电场力与油滴所受重力平衡．如果油滴的半径为，在平衡时，求油滴上的电荷．已知油的密度为． 解 由，可得 17-3．、电荷线密度为的半圆形带电线如图所示，求圆心点的场强．解 在带电曲线上取一个长度为的电荷元，其电量．电荷元在点的场强为，如图所示．由于电荷分布对轴对称，所以全部电荷在点产生的总场强沿方向的分量之和为零，点的总场强沿方向，． 由于，所以 于是 17-4．与半径为的半球面的轴线平行．通量．，问的电通量多大？ 解 以半球面的边缘为边界作一个平面，此平面为一个圆，面积为．由于与面垂直，所以通过面的通量． 因为通过面和面的通量与通过面的通量相等，故通过面和面的通量均为． 17-5．1）一点电荷位于边长为的立方体中心，试问通过立方体每一面的通量多大？（2）如果电荷移到该立方体的一个顶角上，这时通过立方体每一面的通量多大？ 解 （1）立方体的六个面组成闭合曲面，由高斯定理可知通过此闭合曲面的电通量 由于立方体的六个面对其中心对称，所以每个面通过的电通量为 （2）由于，因此所在的三个面的电通量为零（）． 以为中心，以为边长做大立方体，使原立方体恰为大立方体的．由（1）知，通过大立方体每个面的电通量各为．而原立方体的每个面为大立方体每个面的，所以通过小立方体其它三个面的电通量各为． 17-6．（1）设地球表面附近的场强约为，方向指向地心，试求地球所带总电量．（2）在离地面处，场强为，方向仍指向地心，试计算以下大气里的平均电荷体密度． 解 （1）在地球表面外、沿地球表面作一个球面，以此球面为高斯面，设地球所带总电量为，地球半径，由高斯定理 所以 （2）在距地球表面处，作与地球表面同心的球面，以此球面为高斯面，设从离地面到地面的大气所带总电量为，由高斯定理 则，，所以 17-7．厚度为的无限大平板均匀带电，电荷体密度为，求板内外电场的分布． 解 垂直于平板表面作横截面如图，图中虚线为与表面平行、距离两表面等距离（均为）的平面． 由于带电平板无限大，电荷分布对平面对称，可知电场强度与平板表面垂直，在距离平面距离相等处电场强度的大小相同． 作对平面对称的闭合高斯面，高斯面由与平面平行的两个底面和和与平面正交的柱面组成，两个底面和到平面的距离均为．和的通量相等，；的通量为零．当时，根据高斯定理 即可求出．当时，根据高斯定理 可求出．平板带正电，垂直表面向外；平板带负电，垂直表面向内． 17-8．求电荷面密度为的无限长均匀带电圆柱面（半径为）的场强分布，并画出曲线． 解 由于均匀带电圆柱面无限长，电荷分布对圆柱面轴线轴对称；所以电场线在垂直于圆柱面轴线的平面内，为过圆柱面轴线的放射状半直线． 用以圆柱面轴线为轴，两底面与圆柱面轴线垂直的闭合圆柱面为高斯面，如图所示．高斯面的两底面半径为，与平行，通量为零；高斯面的圆柱侧面长度为，与正交，通量． 在带电圆柱面内部，，由高斯定理可得 所以．在带电圆柱体外部，，由高斯定理可得 故．圆柱面带正电，沿半径方向向外；圆柱面带负电，沿半径方向指向轴线． 请读者画出曲线． 17-9．如图所示，在半径分别为、的两个同心薄球面上均匀分布着电荷和．（1）求I、II、III区场强分布．（2）求I、II、III区电势分布． 解 由于电荷分布对球心具有球对称性，故电场分布也对球心具有球对称性，可知电场线为过点的放射状半直线，场强沿半径方向，在到点的距离相同处，场强大小相等． （1）设研究的场点到点的距离为，以为圆心、为半径的球面为高斯面，与高斯面正交．根据高斯定理，在I区，，有 所以． 在II区，，则由可求出． 在III区，，则由可求出． （2）取参考点在无穷远，积分路径沿半径方向，沿电场线积分． 在III区，， 在II区，， 在I区，， 17-10．在半径为，电荷体密度为的均匀带电球体内，挖去一个半径为的小球，如图所示．试求：、、、各点的场强． 解 把带电体看成半径为的均匀带电的球，与半径为的均匀带电的球的迭加．相当于在原空腔处补上体电荷密度为和的球体．设沿的单位矢量为． 空间任意一点的场强，其中和分别是带电球和带电球在此点的产生的场强，与可根据对称性由高斯定理求出． 对点 对点 对点 对点 补充讨论 设是半径为的空腔内的任意一点，则 说明在空腔内各点场