平面几何大师间的讨论.doc

【To：冯祖鸣zfeng@ Three Problems Sat, 13 May 2006 23:23:39 +0800 (CST)】 Hi，Zuming 今天做了三个挺有意思的小题，是一位网友传来的。附上供一阅。06-05-13 附件：闵飞．doc（197KB）gsp（52KB） 【From：闵飞minfei2003@ 几道三点共线与特殊角的命题 Tue, 9 May 2006 14:36:14 +0800 (CST)】 叶老师: 您好!近日,用几何画板画了几道三点共线与特殊角互为充要条件的命题,只给出第一道的证明,余下两题没想出好的办法,在此发出在附件中,请叶老师看一看. 闵飞 2006,5,9. 附件：三点共线与特殊角等价．doc（114KB） 题目1：过A作ABC的外接圆的切线，交BC的延长线于P点，APB的平分线依次交AB、AC于D、E，BE、CD交于Q，求证：BAC=的充要条件是O、P、Q共线。 题目2：在ABC中，A的平分线交BC于D，ABC、ABD、ACD的外接圆圆心分别为O1、O2、O3，且O是O1O2O3的外心，求证：BAC=的充要条件是B、O、C共线。 题目3：在ABC中,AB、BC、AC均不相等，BC的中点为D，在直线AC、AB上分别取点E、F，使BF=CE=BC，记ABC的角A内的旁心为I，AEF的外心为O，求证：BAC=的充要条件是O、D、I共线 这里给出题目1的证明：首先证明AQOP 过P作⊙O的另一条切线，切点为T，设AT与BC交于F， 由角平分线性质知：， 又 == 从而 ∴由Ceva定理知AF、BE、CD三线共点于Q 结合ATOP有AQOP 必要性：设BAC=，在△ADE中， ADE=ABP+BPD=PAC+APD=AED ∴△ADE是等边三角形 又 ∴，且BDE=DEC= ∴△BDE～△DEC ∴DBE=EDC ∴EDC+BED=DBE+BED=ADE= ∴BQC=DQE= 又BOC=2BAC= ∴O、B、C、Q四点共圆，A、D、Q、E四点共圆 ∴OQD=OBC=，DQA=DEA= ∴OQAQ结合前已证AQOP有O、P、Q共线。 充分性：设O、P、Q共线，则OAP=OQA= ∴PA2=PQ·PO，又PA2=PC·PB ∴PQ·PO=PC·PB ∴O、B、C、Q四点共圆 从而，且有 ∴ ∴QE平分AQC，即AQE=CQE　① 另一方面由O、B、C、Q四点共圆知 OQD=OBC=OCB=OQB=PQE 结合OQA= PQA = 知DQA= AQE　② 由①、②知DQA=AQE=CQE= 从而BQC=BOC= 2BAC= 即有BAC= 【To：闵飞minfei2003@ 回复】 闵飞老师：你好！ 三个题已收到，非常有趣。我都已给出了解答。 题目1我是直接用计算的办法，与你原有的方法稍许不同。虽有些烦琐，但揭示出了内在关系： 【证明】如图，连接AQ，延长后交BC于D，交外接圆于T。 由△PAB∽△PCA及角平分线定理，知。 在△ABC中，由Ceva定理，，∴ 。 由此知AD是类似中线，故。…………………………① 在△ADC中，由Menelaus定理，，即， ∴ 。得 。…………………………② 又取中线AM，由△ABM∽△ATC，∴ ，得。………③ O、Q、P共线Q是AT中点 即。 将①、②、③代入得，而，得。 由余弦定理，，∴ 。证毕 题目2我给出了如下简证： 【证明】分别记△ABC、△ABD、△ACD的外心为O、O1、O2，△OO1O2的外心为O′。 作出△ABC的外接圆，并取中点N。 不难证明A、N、O、O1、O2五点共圆。 显然NO⊥BC。为使B、O′、C共线，即N、O关于BC轴对称，必须且只需满足∠BOC＝∠BNC， 而 ∠BOC＝360°－2∠A （注：O与顶点A位于BC边异侧）， ∠BNC＝∠A， ∴　3∠A＝360°，即∠A＝120°。证毕 题目3的图形以往我曾经讨论过，我正是借用以前所得到的某些结论来证明的： 【证明】作△ABC的外接圆并取上、下的中点N、M。记△ABC的内、外心为I、O。 记△AEF的外心为O′。可以证明OIO′N是平行四边形。 为使O′、D、I1共线，在△I1O I中利用中位线知， 必须也只需满足 。 而 ， （外接圆半径）， 代入得 ，而由正弦定理， ∴ ，即， ， 。 ∴ 。证毕 这三个题中我认为题目2最有挖掘余地，例如可探究一般情况下（即AD是任意Ceva线）何时O′落在BC上。在几何画板中，可由△ABC逆向构造出满足上述条件的AD，它是唯一确定的。 画板表明当∠A的大小不变时，直线AD的包络是二次曲线，以外接圆垂直于BC的那条直径为其长轴。 当∠A＝90°，包络恰好重合于外接圆；这时AD成为外接