六导数的基本概念1.doc

　导数的概念及其运算 一、选择题： 1．下列结论不正确的是(　　) A．若y＝3，则y′＝0B．若y＝，则y′＝－ C．若y＝－，则y′＝－D．若y＝3x，则y′＝3 2．已知奇函数y＝f(x)在区间(－∞，0]上的解析式为f(x)＝x2＋x，则切点横坐标为1的切线方程是(　　) A．x＋y＋1＝0　　　　　 B．x＋y－1＝0 C．3x－y－1＝0 D．3x－y＋1＝0 3．已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b切于点(1,3)，则b的值为(　　) A．3 B．－3C．5 D．－5 4．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝(　　) A．－1 B．－2C． 2 D．0 5．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 6．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　) A. B. C. D. 二、填空题： 7．曲线y＝x2－2x＋a与直线y＝3x＋1相切时，常数a的值是________． 8．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2xf′(2)，则f′(5)＝________. 9．若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________． 10．函数y＝x2(x0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________． 三、解答题： 11．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限． (1)求P0的坐标； (2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．12．已知函数f(x)＝x3＋x－16， (1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程； (2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标； (3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．13．设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3. (1)求f(x)的解析式； (2)证明：函数y＝f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心； (3)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围的三角形的面积为定值，并求出此定值． 解：(1)f′(x)＝a－.于是解得或∵a，b∈Z，∴f(x)＝x＋. (2)证明：已知函数y1＝x，y2＝都是奇函数，∴函数g(x)＝x＋也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．而f(x)＝x＋＝(x－1)＋＋1，可知f(x)的图象是由g(x)的图象沿x轴正方向向右平移1个单位，再沿y轴正方向向上平移1个单位得到的．故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形． (3)证明：在曲线上任取一点，由f′(x0)＝1－，知过此点的切线方程为 y－＝(x－x0)．令x＝1，得y＝，∴切线与直线x＝1交点为. 令y＝x，得x＝2x0－1，∴切线与直线y＝x交点为(2x0－1,2x0－1)．直线x＝1与y＝x交点为(1,1)． 从而所围的三角形的面积为 ·|2x0－1－1|＝·|2x0－2|＝2.∴所围的三角形的面积为定值2. 答案：答案：6答案：(－∞，0)答案：21 解：(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，由已知得3x2＋1＝4，解之得x＝±1.当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，∴直线l的斜率为－.∵l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，∴直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.解：(1)∵f(2)＝23＋2－16＝－6，∴点(2，－6)在曲线上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴在点(2，－6)处的切线的斜率为 k＝f′(2)＝3×22＋1＝13.∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)．即y＝13x－32. (2)解法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，∴直线l的方程为：y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，整理得x＝－8，∴x0＝－2，y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，∴k＝3(－2)2＋1＝13，∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．解法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，则k＝＝.