关于二次函数常见问题.docVIP

【关于“二次函数y＝ax^2 bx c的图象”的常见问题】 ??常见问题1: 什么是二次函数?它的图象是什么? 问题： 什么是二次函数?它的图象是什么? 解答: ??? 答：y=ax2+bx+c(a、b，c是常数，a≠O)是二次函数，它的图象是抛物线． ??常见问题2: 抛物线y=ax2+bx+c的对称轴与顶点坐标是什么? 问题： 抛物线y=ax2+bx+c的对称轴与顶点坐标是什么? 解答: ??? 答：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是X=- ，顶点坐标是(- ， )． ??常见问题3: 二次函数y=ax^2+bx+c的图象 问题： ?(1)顶点为(-1，3)，且经过点(1，-5)，求抛物线解析式；(2)对称轴为x＝2，并且经过点M(-1，0)和N(3，16)，求抛物线解析式. 解答: 笨解：(1)抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为(- , )，所以有? - ＝-1, ＝3,又抛物线经过点(1，-5)，把点(1，-5)代入解析式得-5＝a+b+c，从而可得方程组 - ＝-1 ＝3 -5＝a+b+c 解得? a＝-2 b＝-4 c＝1 ∴y=-2x2-4x+1 (2)由题意得方程组- ＝2?? 0＝a-b+c?? 16＝9a+3b+c 解得?? a＝-2? b＝8?? c＝10 ∴y＝-2x2+8x+10 巧解： (1)∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为(-1，3)， ∴抛物线可写成y＝a(x+1)2+3形式，又由于它过点(1，-5)，所以-5＝a(1+1)2+3,得a＝-2,∴y＝-2(x+1)2+3＝-2x2-4x+1. (2)∵函数图像关于直线x＝2对称，且图像经过M(-1，0)点，则由对称性，图像必过(5，0)点，抛物线可写成y＝a(x+1)(x-5)的形式，又过点N(3，16)，∴16＝a(3+1)(3-5)，∴a＝-2， ∴y＝-2(x+1)(x-5)＝-2x2+8x+10. 注? 求二次函数解析式的问题可根据题设的不同说法，选择简单、合理的求法. ??常见问题4: 二次函数y=ax^2+bx+c的图象 问题： 已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，且抛物线与y轴交于Q(0，-3)，与x轴的交点为A、B，顶点为P，ΔPAB的面积为8，求其解析式. 解答: 分析? 由已知抛物线与y轴交于Q(0，-3)，可知c＝-3.要求其解析式，关键就是求b的值.∵SPAB＝ ｜AB｜·h，这里h是抛物线顶点纵坐标的绝对值.即h＝｜ ｜＝｜ ｜,｜AB｜＝ ＝ ,∴可得到关于b的方程，解方程即可求出b的值. 解? 将(0，-3)代入y＝ax2+bx+c,得c＝-3. ∵｜AB｜＝｜x2-x1｜＝ ＝ ＝ , 顶点P的纵坐标为 ＝ , ∴由三角形面积公式得 ·｜ ｜＝8. ∴ ·(b2+12)＝64. 设 ＝m，则b2+12＝m2, m·m2＝64，m3＝64,m＝4. ∴ ＝4,b2＝4,b＝±2. ∵b与a异号，∵a＝1＞0，∴b＜0，∴b＝-2. ∴抛物线的解析式为y＝x2-2x-3. ??常见问题5: 二次函数y=ax^2+bx+c的图象 问题： 图13-16 如图13-16，已知抛物线y＝-x2-(m-4)x+3(m-1)与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点. (1)求m的取值范围； (2)若m＜0，直线y＝kx-1经过点A，与y轴交于点D，且AD·BD＝5 ，求抛物线的解析式. (3)若A点在B点的左边，在第一象限内(2)中所得的抛物线上是否存在一点P，使直线PA平分ΔACD的面积?若存在，求出P点的坐标；若不存在.请说明理由. ? 解答: 分析? 本题是二次函数、一次函数、及几何图形面积的综合问题，(3)是探索性问题.探索存在型问题的一般思路是：先对结论作出假设，然后由此出发，进行计算、推理，再对得出的结果进行分析、检验，判断是否与题设、公理相符，若无矛盾，说明假设正确，由此得出符合条件的数学对象的存在；否则，说明不存在. 解? (1)因为抛物线y＝-x2-(m-4)x+3(m-1)与x轴有两个交点，∴Δ＞0； 又由图像可知对称轴x＝- ＞0；抛物线在y轴上的截距c＜0，即m满足 解得m的取值范围是m＜1且m≠-2. (2)易求出抛物线与x轴的两交点的坐标为(1-m,0),(3,0)，又D(0，1)，由勾股定理可知 AD、BD的长为 , . ∵AD·BD＝5 ∴ , ＝5 ，得m1＝-1,m3＝3. ∵m＜0，故取m＝-1. ∴抛物线解析式为y＝-x2+5x-6. (3)假设在第一象限内，抛物线上存在点P使直线PA平分ΔACD的面积，则直线PA必过DC中点M. 由D(0，-1)，C(0，-6)可知M点坐标