函数的值域及其求法.docVIP

函数值域及其求法 一 相关概念 1、值域：函数，我们把函数值的集合称为函数的值域。 2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。 二 确定函数值域的原则 1、当函数用表格给出时，函数的值域指表格中实数y的集合； x 0 1 2 3 y=f(x) 1 2 3 4 则值域为{1，2，3，4} 2、数的图像给出时，函数的值域是指图像在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合； 3、数用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； 4、由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定。 三 基本函数的值域 1、一次函数的值域为R； 2、二次函数； 3、反比例函数的值域为；4、数函数的值域为；5、对数函数的值域为R。6，函数y=sinx、y=cosx的值域是 四 求函数值域的方法 1、观察法： “直线类，反比例函数类”用此方法； 2、配方法.：“二次函数”用配方法求值域； 例1. 的值域； 解： 画出图像（图略）从图可知, 所以此函数的值域为. 例2. 求 的值域； 解：设 ３、换元法： 形如； 例3. 求函数的值域 解：设,, . 4、判别式法：形如； 例4 求函数的值域； 解： 要上面的方程有实数根， 求出,所以函数的值域为 ５、反函数法：直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 形如的函数用反函数法求值域；例 求函数y=值域。 ６、分离常数法：形如的函数也可用此法求值域； 例5求函数的值域； 解：方法一：（反函数法）求出函数的反函数为，其定义域为，所以原函数的值域为 方法二：（分离常数法） ７、函数有界性法 (通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容) 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例 求函数y=，，的值域 ８、数形结合法。例6求函数 （方法一可用到图象法） 方法二：（单调性） 所以此函数的值域为 注：不论采用什么方法求函数的值域均应先考虑其定义域。 一．回顾与应用 1．若函数y=f(x)的值域是[-2，3]，则函数y=∣f(x)∣的值域是 （ ） A．[-2，3] B．[2，3] C．[0，2] D．[0，3] 2．函数y=log0.3(x2+4x+5)的值域是 . 3．函数的值域为 ． 4．定义域为R的函数y = f(x)的值域为[a，b]，则f(x+a)的值域为 （ ） A．[2a，a+b] B．[0，b-a] C．[a，b] D．[-a，a+b] 5．若函数f(x)=的值域是[-1，1]，则函数f –1(x)的值域是（ ） A B [-1,1] C D 6．函数y=x+的值域是 （ ） A．{y|y≥} B．{y|y≤} C．{y|y≥0} D．{y|y≤0} 二．题型举例 1．求下列函数的值域： （1） （2） 2．已知x1、x2是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0(kR)的两个实根，求x12+x22的最大值。 3．已知函数的定义域为R. 求实数m的取值范围。 （2）当m变化时，若y的最小值为f(m)，求f(m)的值域。 三．课后练习 1．函数的值域是 ；．函数的值域是 。 2．函数y=-x(x+2)(x0)的反函数的定义域是 。 3．若函数的值域为R，则k的取值范围是（ ） A 0k1 B 0k1 C k0或k1 D k=0或k1 4．若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m]，值域为，则m的取值范围是（ ） A B C D 5．求下列函数的值域：（1） （2） 6．若函数的定义域和值域都是[1,b](b1)，求b的值。 7．已知函数f(x)=1-2ax-a2x(a1)。 （1）求f(x)的值域。 （2）若x[-2,1]时，函数的最小值为-7，求a及f(x)的最大值。 答案参考 1．D