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7.6 高阶线性微分方程 7.6 高阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程概念 7.6 高阶线性微分方程 二、线性微分方程的解的结构 7.6 高阶线性微分方程 说明: 7.6 高阶线性微分方程 7.6 高阶线性微分方程 两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件: 定理7.2 7.6 高阶线性微分方程 7.6 高阶线性微分方程 注： 7.6 高阶线性微分方程 7.6 高阶线性微分方程 补充：降阶法与常数变易法 四、内容小结 1、 2、 * Content Layouts 一、二阶线性微分方程概念  二、线性微分方程解的结构 四、思考与练习 三、内容小结 解 受力分析 7.6 高阶线性微分方程 物体自由振动的微分方程 强迫振动的方程 串联电路的振荡方程 0 2 2 2 2 = + + x k dt dx n dt x d pt h x k dt dx n dt x d sin 2 2 2 2 = + + t LC E u dt du dt u d Lc m c c c w w b sin 2 2 0 2 2 = + + 7.6 高阶线性微分方程 定义7.1 形如 的方程，称为二阶线性微分方程，其中 、 及 是 的已知连续函数. 二阶线性齐次微分方程 二阶线性非齐次微分方程 n 阶线性微分方程 若 1.二阶齐次线性方程解的结构: 是二阶齐次线性方程 的两个解, 也是该方程的解. (叠加原理) 定理7.1 7.6 高阶线性微分方程 证毕 证明: 代入方程左边, 得 思考: 一定是通解吗？ 2 2 1 1 y C y C y + = 不一定是所给二阶方程的通解. 例如, 是某二阶齐次线性方程的解, 也是齐次线性方程的解 并不是通解 但是 则 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 7.6 高阶线性微分方程 注：上述概念可推广到n个函数的情形. 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 使得 则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 若存在不全为 0 的常数 定义7.2 设 是定义在区间 I 上的 两个函数, 使得 则称这 两个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 若存在不全为 0 的常数 例如， 在(?? , ?? )上都有 故它们在任何区间 I 上都线性相关; 若在某区间 I 上 则根据二次多项式至多只有两个零点 , 必需全为 0 , 可见 在任何区间 I 上都 线性无关. 线性相关 存在不全为 0 的 使 ( 无妨设 线性无关 常数 思考: 中有一个恒为 0, 则 必线性 相关 7.6 高阶线性微分方程 是二阶齐次线性方程的两个线 性无关特解, 数) 是该方程的通解. 例如, 方程 有特解 且 常数, 故方程的通解为 则 推论7.1 是 n 阶齐次线性方程 的 n 个线性无关解, 则方程的通解为 ) ( 1 1 为任意常数 k n n C y C y C y + + = L 7.6 高阶线性微分方程 2.二阶非齐次线性方程的解的结构: 是二阶非齐次线性方程 的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 定理7.3 是非齐次线性方程的通解 . ② ① 则 7.6 高阶线性微分方程 证明: 将 代入方程①左端, 得 是非齐次线性方程的解, 又Y 中含有 两个独立任意常数, 证毕 因而 ② 也是通解 . 例如, 方程 有特解 对应齐次方程 有通解 因此该方程的通解为 解的叠加原理 定理7.4 设非齐次线性方程(2)的右端 是几个 而 与 分别是方程, 的特解, 那么 就是原方程的特解. 函数之和, 如 7.6 高阶线性微分方程 分别是方程 的特解, 是方程 的特解. (非齐次线性方程之解的叠加原理) 定理7.3, 定理7.4 均可推广到 n 阶非齐次线性方程. 7.6 高阶线性微分方程 是对应齐次线性方程的 n 个 线性无关特解, 给定 n 阶非齐次线性方程 是非齐次线性方程的特解, 则非齐次线性方程 的通解为 齐次线性方程通解 非齐次线性方程特解 例7.26 若 是非齐次线性方程（2）的两个解， 是其对应的齐次线性方程（1）的解. 、 是方程（2）的两个解， 以上两式相减，得 即 就是方程（1）的解. 证明 证明： 因为 所以有： 1.齐次线性方程求线性无关特解------降阶法 代入(1)式, 得 则有 7.6 高阶线性微分方程 解得 刘维尔公式 齐次方程通解为 降阶法 的一阶方程 7.6 高阶线性微分方