02第二章 简单量子力学体系-new.pptx

2.1 多元函数的微分与微分方程 2.2 一维箱中粒子 2.3 一维自由粒子 2.4 矩形箱中粒子 2.5 隧道效应 2.6 三维箱中粒子 2.7 自由电子模型在化学中的应用 2.8 一维谐振子 2.9 氢原子与类氢离子 ; 微分的运算法则： d (u ? v) = du ? dv, d (u?v) = udv + vdu, df[?(x)] = f’[?(x)]d?(x) = f’[?(x)] ?’(x)dx ;例1： 设 y = x2 sinx, 求 dy ;二元函数 ;微分方程;定理：如果y1和y2是方程(2.1)的两个独立解，则 它们的线性组合 y = c1 y1 + c2 y2 (2.2) 也是方程的解. 常系数二阶线性齐次方程 (The linear homogenerous second-order differential equation with constant coefficients) y?? + p y? + q y = 0 (2.3) ;尝试 y=esx [Why?] 代入(2.3)式有： (2.4)为辅助方程(auxiliary equation). 解二次方程 (2.4)，有两个根 s1 和 s2 即可得（2.3）式的一般解： ; 一维势箱中粒子是指一个质量为m的粒子，在一维直线上局限在一定范围0→l内运动，势能函数的特点如图所示。;定态Schrodinger方程为 ;通解为： ;★ 根据归一化条件确定归一化系数 ;（2）求解结果的讨论 ;B 零点能效应 ;C 波函数与几率密度 ;n=1; 能量量子化，零点能效应和粒子没有运动轨道只有几率分布，这些现象是经典场合所没有的，只有量子场合才得到的结果，一般称为“量子效应”。 ;D 波函数正交归一性 ;E 一维势箱体系的有关物理量 ;动量平方与能量具有确定值.; 2.3 一维自由粒子 ;　　x 趋于??，? 必须保持有限，因为?*? dx 表示几率 。 若E0 （实际上, 动能E不能为负值） ：会出现 i(2mE)1/2 = i(i)(2m|E|)1/2 = -(2m|E|)1/2 　　则当 x 趋于负无穷大时，(2-11)式中第一项将变得无穷大；当 x 趋于正无穷大时，(2-11)式中第二项将变为无限大。 　　所以要求：E?0。 波函数是正弦与余弦的组合。;　　对于自由粒子，我们未能得到能量量子化，一切非负的能量都是允许的。因为我们取V=0，所以此时Ｅ就是动能。即非束缚态粒子无能量量子化要求。 　　如果试图用归一化计算常数c1和c2，我们会发现积分 　　　　　　　　发散。即自由粒子的波函数不是可归一的。这在物理根据上是可预料到的，因为没有理由认为自由粒子在 x 趋于 ?? 时找到它的几率趋于０。; 2.4 矩形箱中粒子（或有限高度势阱） ; 2.5 隧道效应 ;　　定义透射波与入射波几率密度比为透射系数T，当粒子能量Ｅ小于势垒V0时，透射系数简化为：;化学反应体系的隧道效应：; kB为Boltzmann常数，h为Planck常数, 为反应过渡态虚频的绝对值. 或;隧道效应有着广泛的应用： 早期用隧道效应从理论上阐明放射性原子核α粒子衰变现象。近年来，隧道效应又作为量子电子器件的理论基础而广泛应用，它是许多物理现象和物理器件的核心，如隧道二极管、超导Josophson结，某些质子转移反应也与隧道效应有关。 　　20世纪80年代，BinningRohrer发明了扫描隧道显微镜STM。金属中的自由电子由于隧道效应可以贯穿金属表面的势垒，当两种金属靠得很近而未接触（间隙约零点几纳米）时，只要加上适当电压（毫伏级），就会产生隧道电流。该仪器放大倍数3千万倍，分辨率达0.01nm，它使人类第一次真实地“看见”了单个原子，已成为在原子尺度研究表面的有力工具！; 2.6 三维箱中粒子 ;令;;　　从（2-19）式可以看出，描写一个三维空间状态需用三个量子数，以后讨论电子的空间波函数（空间轨道）时，也用到量子数 n, l, m。 ;三维无限深正方体势阱中粒子的简并态;求立方势箱能量 的可能的运动状态数。;以丁二烯为例：;显然有：EaEb 即形成共轭体系后