孙训方材料力学05梁弯曲时的位移.ppt

* 改变结构体系：是指增加梁的支座约束使静定梁成为超静定梁。 第五章 梁弯曲时的位移 * 等直梁在线弹性范围内纯弯曲时，其曲率 为常量，挠曲线为一圆弧，梁的两个端面在梁弯曲后对应的圆心角为： 第五章 梁弯曲时的位移 r q (a) M e l M e §5-6 梁内的弯曲应变能 可见，θ与Me呈线性关系。 * 图中斜直线下的三角形面积即代表外力偶之矩由零增大到最终值 Me 过程中，外力偶所作的功： 它在数值上就等于梁在纯弯曲时的应变能： 将 代入上式可得 第五章 梁弯曲时的位移 O q q M e M e * 工程中常用的梁其剪切变形对位移的影响通常很小，可略去不计。梁在横力弯曲时其长为dx的微段内的弯曲应变能为： 第五章 梁弯曲时的位移 梁在横力弯曲时的应变能 * 例题5-9 求图示等直梁的弯曲应变能Ve，并利用功能原理求自由端A的挠度wA。 第五章 梁弯曲时的位移 wA B F A l * 求梁的弯矩表达式 自由端的集中力由零增加到最终值F的过程中所作的功为 第五章 梁弯曲时的位移 x wA B F A l 解： 求弯曲应变能 M(x) =F x * 根据功能原理，有W=Vε，即 第五章 梁弯曲时的位移 得 * 挠曲线微分方程 转角方程 挠度方程 （b）当 a ? x ? l A B F D a b l D点的连续条件 支座处约束条件 x = a： x = 0 ： x = l ： 代入方程解得: 1 2 FRA FRB A B F D a b l （a）当 0 ?x ? a （b）当 a ? x ? l 1 2 FRA FRB A B F D a b l 左右两支座处截面的转角 当 a b 时，右支座处截面的转角绝对值最大 1 2 FRA FRB A B F D a b l 时：简支梁的挠度最大 AD段：由 当 a b时：x1 a ，最大挠度发生在第一段梁上。 1 2 FRA FRB A B F D a b l F靠近支座B时： 结论： 简支梁无论受什么荷载作用，只要挠曲线上无拐点， 其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替，其精度是能满足工程要求的。 1 2 FRA FRB A B F D a b l F靠近支座B时，跨中C点的挠度： C 讨 论 积分法求变形有什么优缺点？ 得到挠度方程w(x)和转角方程?(x) 。因而可求出任意截面的挠度和转角。 繁、荷载复杂时分段多，因而积分常数多。 优点： 缺点： §5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角 第五章 梁弯曲时的位移 叠加原理 梁的变形微小、且在线弹性范围内工作时： 梁在几项荷载(集中力、 力矩、分布力)同时作用下的挠度和转角=每一项荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。—叠加原理。 例：按叠加原理求A点转角和C点挠度。 解: （a）荷载分解 （b）查附录Ⅳ B q F A C a a F = A B + A B q （c）叠加 q F F = + A A A B B B C a a q 例5-4 试利用叠加法求图所示抗弯刚度为EI的简支梁跨中点的挠度 wC 和两端截面的转角?A 、 ?B 。 A B C q l l/2 A B C q/2 C A B q/2 q/2 解: 可视为正对称荷载与反对称荷载两种情况的叠加。 = + （1）正对称荷载作用下 A B C q/2 （2）反对称荷载作用下 跨中C截面处：弯矩 M=0 挠度 wC 2 =0； 转角θ≠0； C A B q/2 q/2 B q/2 A C q/2 = 可得：wC2=0 将相应的位移进行叠加，可得 ( ) ( ) ( ) A B C q l l/2 wC2=0 思 考 A B C q l l/2 如何利用叠加法求图所示的悬臂梁自由端的挠度 wB 和?B 。 例5-5 一抗弯刚度为 EI 的外伸梁受荷载如图所示。试按叠加原理求截面B的转角?B及A端和BC中点D的挠度wA 和wD 。 A B C D a a 2a 2q q 2q A B 解：将外伸梁沿B截面截成两段，将AB 段作为B端固定的悬臂梁，BC段作为简支梁。 B截面两侧的相互作用为： 2qa 2qa 剪力—2qa；弯矩—qa2 A B C D a a 2a 2q q B C D q 由叠加原理 （1）求 ?B 、wD D B C B C D B C D q 2qa = + 将 BC 段的荷载分解如图： （2）求wA 简支梁上B截面的转动带动AB段一起作刚体运动，使A