西南交大数值分析上机实习报告.docxVIP

PAGE \* MERGEFORMAT14 数值分析上机实习报告 （2015～2016学年第一学期） 姓 名： xxxxx xx 学 号： xxxxxxxxxx 专 业： 岩土工程 指导教师： 徐跃良 联系电话： xxxxxxxxxxx 实习成绩： xxxxxxxxx 2015年 12月 10日 目录 一 序言 3 二 正文 3 题目3 3 原理3 3 结果3 4 分析3 5 题目4 6 原理4 6 结果4 7 分析4 7 题目5 7 原理5 7 结果5 8 分析5 9 三 总结 9 四 附录 9 附录1雅格比迭代法程序代码 9 附录2高斯－赛德尔迭代法程序 10 附录3求解题目3程序代码 11 附录4 SOR法程序代码 12 附录5求解题目4程序代码 13 附录6 Runge-Kutta 4阶算法程序代码 13 附录7求解题目5程序代码 14 一 序言 MATLAB的M语言，一种演算纸方式的编程语言。通过这种语言，用户可以用类似于数学公式的方式来编写算法，大大降低了编程所需的难度并节省了时间，从而让用户把主要的精力集中在算法的构思而不是编程上。 为便于检验结果，本上机实习全部使用M语言编程，然后用内置函数求解进行对比。 二 正文 题目3用雅格比法与高斯－赛德尔迭代法解下列方程组Ax=b，研究其收敛性，上机验证理论分析是否正确，比较它们的收敛速度，观察右端项对迭代收敛有无影响。 (1) (2) (3) 原理： 雅格比迭代法： Jacobi迭代也可看成简单迭代的一种，故对简单迭代的所有性质也成立。从上可知：如果矩阵A的主对角元不为零，则其Jacobi迭代是唯一的。如用矩阵形式表示：则迭代矩阵：B=I－ 其中：g= b，D=diag(a11,…，ann) Jacobi迭代收敛的充要条件是?（Ｉ－Ａ）１。 Gauss-Seidel迭代法 我们称它为方程组Ax=b的Gauss-Seidel迭代式，如写成矩阵形式为： x(k)= D-1 (L x(k)+Ux(k-1))+ D-1b x(k)= (D-L)-1U x(k-1)+ (D-L)-1b 其中：L=－ D=diag(a11,…，ann) Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为(D－LU，常数项为(D－Lb，收敛的充要条件是?（(D－LU)1 结果3 取 (1) bJacobi迭代次数kJacobi解xGS迭代次数kGS解xb131（-0.7273，0.8081，0.2525）T19(-0.7273,0.8081,0.2525)Tb237(36.3636,-2.0707,114.0404)T24(36.3636,-2.0707,114.0404)T(2) bJacobi迭代次数kJacobi解xGS迭代次数kGS解xb1发散无法求出55(4.2308,-0.7692,-0.7692)Tb2发散无法求出65(32.6923,7.6923,-42.3077)T(3) bJacobi迭代次数kJacobi解xGS迭代次数kGS解xb1发散无法求出发散无法求出分析3 GS迭代收敛速度一般比Jacobi迭代收敛速度快，右端项对迭代是否收敛没有影响，但有时对迭代次数会产生较大的影响。 题目4松弛因子对SOR法收敛速度的影响。 用SOR法求解方程组Ax=b,其中 要求程序中不存系数矩阵A,分别对不同的阶数取w=1.1, 1.2, ...,1.9进行迭代，记录近似解x(k)达到||x(k)-x(k-1)||10-6时所用的迭代次数k，观察松弛因子对收敛速度的影响，并观察当w?0或w?2会有什么影响？ 原理： 逐次超松弛迭代法（SOR-迭代法）： 选取矩阵A的下三角矩阵分量并赋予参数w，将之作为分裂矩阵M，，其中，w0，为可选择的松弛因子，又（1）公式构造一个迭代法，其迭代矩阵为从而得到解的逐次超松弛迭代法。 其中： 由此，解的SOR-迭代法的计算公式为 （2） 观察（2）式，可得结论： 当w=1时，SOR-迭代法为J-迭代法。 （2）当w1时，称为超松弛迭代法，当w1时，称为低松弛迭代 结果4 取时所用的迭代次数k列表如下： w n 1.11.21.31.41.51.61.71.81.9-10123481114182231426613