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西南交大数值分析上机实习报告
PAGE \* MERGEFORMAT14
数值分析上机实习报告
(2015~2016学年第一学期)
姓 名: xxxxx xx
学 号: xxxxxxxxxx
专 业: 岩土工程
指导教师: 徐跃良
联系电话: xxxxxxxxxxx
实习成绩:
xxxxxxxxx
2015年 12月 10日
目录
一 序言 3
二 正文 3
题目3 3
原理3 3
结果3 4
分析3 5
题目4 6
原理4 6
结果4 7
分析4 7
题目5 7
原理5 7
结果5 8
分析5 9
三 总结 9
四 附录 9
附录1雅格比迭代法程序代码 9
附录2高斯-赛德尔迭代法程序 10
附录3求解题目3程序代码 11
附录4 SOR法程序代码 12
附录5求解题目4程序代码 13
附录6 Runge-Kutta 4阶算法程序代码 13
附录7求解题目5程序代码 14
一 序言
MATLAB的M语言,一种演算纸方式的编程语言。通过这种语言,用户可以用类似于数学公式的方式来编写算法,大大降低了编程所需的难度并节省了时间,从而让用户把主要的精力集中在算法的构思而不是编程上。
为便于检验结果,本上机实习全部使用M语言编程,然后用内置函数求解进行对比。
二 正文
题目3用雅格比法与高斯-赛德尔迭代法解下列方程组Ax=b,研究其收敛性,上机验证理论分析是否正确,比较它们的收敛速度,观察右端项对迭代收敛有无影响。
(1)
(2)
(3)
原理:
雅格比迭代法:
Jacobi迭代也可看成简单迭代的一种,故对简单迭代的所有性质也成立。从上可知:如果矩阵A的主对角元不为零,则其Jacobi迭代是唯一的。如用矩阵形式表示:则迭代矩阵:B=I-
其中:g= b,D=diag(a11,…,ann)
Jacobi迭代收敛的充要条件是?(I-A)1。
Gauss-Seidel迭代法
我们称它为方程组Ax=b的Gauss-Seidel迭代式,如写成矩阵形式为:
x(k)= D-1 (L x(k)+Ux(k-1))+ D-1b
x(k)= (D-L)-1U x(k-1)+ (D-L)-1b
其中:L=-
D=diag(a11,…,ann)
Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为(D-LU,常数项为(D-Lb,收敛的充要条件是?((D-LU)1
结果3
取
(1)
bJacobi迭代次数kJacobi解xGS迭代次数kGS解xb131(-0.7273,0.8081,0.2525)T19(-0.7273,0.8081,0.2525)Tb237(36.3636,-2.0707,114.0404)T24(36.3636,-2.0707,114.0404)T(2)
bJacobi迭代次数kJacobi解xGS迭代次数kGS解xb1发散无法求出55(4.2308,-0.7692,-0.7692)Tb2发散无法求出65(32.6923,7.6923,-42.3077)T(3)
bJacobi迭代次数kJacobi解xGS迭代次数kGS解xb1发散无法求出发散无法求出分析3
GS迭代收敛速度一般比Jacobi迭代收敛速度快,右端项对迭代是否收敛没有影响,但有时对迭代次数会产生较大的影响。
题目4松弛因子对SOR法收敛速度的影响。
用SOR法求解方程组Ax=b,其中
要求程序中不存系数矩阵A,分别对不同的阶数取w=1.1, 1.2, ...,1.9进行迭代,记录近似解x(k)达到||x(k)-x(k-1)||10-6时所用的迭代次数k,观察松弛因子对收敛速度的影响,并观察当w?0或w?2会有什么影响?
原理:
逐次超松弛迭代法(SOR-迭代法):
选取矩阵A的下三角矩阵分量并赋予参数w,将之作为分裂矩阵M,,其中,w0,为可选择的松弛因子,又(1)公式构造一个迭代法,其迭代矩阵为从而得到解的逐次超松弛迭代法。
其中:
由此,解的SOR-迭代法的计算公式为
(2)
观察(2)式,可得结论:
当w=1时,SOR-迭代法为J-迭代法。
(2)当w1时,称为超松弛迭代法,当w1时,称为低松弛迭代
结果4
取时所用的迭代次数k列表如下:
w
n 1.11.21.31.41.51.61.71.81.9-10123481114182231426613
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