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证明线段成比例的方法与技巧
证明线段成比例的方法与技巧
安徽 李师
证明线段成比例的问题,思路灵活,涉及的定理较多,辅助线的添加方法亦很巧妙,常用的方法有以下几种.
1 [1]已知:如图1,∠ABC=∠ADE.求证:AB·AE=AC·AD
A、B、C构成△ABC,等式右边的三点A、D、E构成△ADE.因此,只要证明△ABC∽△ADE,本题即可获证.
ABC=∠ADE,∠A是公共角,易证△ABC∽△ADE.
证明:略.
号两边的分母,三个字母A、D、E构成△ADE.
2
[2]已知:如图2,在Rt△ABC中有正方形HEFG,
点H、G分别在AB、AC上,EF在斜边BC上.求证:EF2=BE·FC.
HEFG 的四条边都相等的隐含条件,用 HE 代换等式左边的
△HBE∽△FCG使本题获证.
证明:略.
这是利用线段进行等量代换的典型例题,不难看出,这种代换方法往往需要含有等腰三角形、平行四边形、正三角形、正方形、线段中点等已知条件或隐含条件.
[3]已知:如图3,AC是ABCD的对角线,G是AD延长线上的一点,BG交AC于F,交CD于E.
B、E、F、G四点共线可知,本题既不能
直接应用平行截线定理或三点定形法,又找不到与比例式中线段相等的线段进行等量代换.
3 [4]已知:如图4,在△ABC中,D是AC上一点,延长CB到E,使BE=AD,ED交AB于F.
A、B、C可构成△ABC,
而左边的三点D、E、F不能构成三角形,因此不能直接利用相似三角形获证.
证明:略.
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