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课题8.2椭圆的简单几何性质(二)
课 题:8.2椭圆的简单几何性质(二)
教学目的:
1. 掌握椭圆范围、对称性、顶点、离心率、准线方程等几何性质;
2.理解椭圆第二定义与第一定义的等价性;
3.掌握根据曲线方程来研究曲线性质的基本思路与方法;培养学生观察能力,概括能力;提高学生画图能力;提高学生分析问题与解决问题的能力
教学重点:椭圆的第二定义、椭圆的准线方程
教学难点:椭圆第二定义
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教 具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
1.椭圆定义:在平面内,到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间的距离)的动点的轨迹
2.标准方程:, ()
3.椭圆的性质:由椭圆方程 1 范围: ,,椭圆落在组成的矩形中.
2 对称性:
图象关于轴对称.图象关于轴对称.图象关于原点对称
原点叫椭圆的对称中心,简称中心.轴、轴叫椭圆的对称轴.从椭圆的方程中直接可以看出它的范围,对称的截距
(3)顶点:椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点
椭圆和轴有两个交点,它们是椭圆的顶点 椭圆和轴有两个交,它们也是椭圆的顶点 因此椭圆共有四个顶点: ,加两焦点共有六个特殊点.
叫椭圆的长轴,叫椭圆的短轴.长分别为
分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点
4 离心率: 椭圆焦距与长轴长之比
椭圆形状与的关系:
,椭圆变圆,直至成为极限位置圆,此时也可认为圆为椭圆在时的特例
椭圆变扁,直至成为极限位置线段,此时也可认为圆为椭圆在时的特例
4. 回顾一下焦点在轴上的椭圆的标准方程的推导过程:如果对椭圆标准方程推导过程中的关键环节进行适当变形,我们会有新的发现:
+= ⑴
,
即 ⑵
同时还有 3
观察上述三式的结构,说出它们各自的几何意义,从而引出椭圆的第二定义
二、讲解新课:
1.椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数,那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数就是离心率
2.椭圆的准线方程
对于,相对于左焦点对应着左准线;
相对于右焦点对应着右准线
对于,相对于下焦点对应着下准线;相对于上焦点对应着上准线
准线的位置关系:
焦点到准线的距离(焦参数)
其上任意点到准线的距离:(分情况讨论)
点评:(1)从上面的探索与分析可知,椭圆的第二定义与第一定义是等价的,它是椭圆两种不同的定义方式
(2)椭圆的准线方程有两条,这两条准线在椭圆外部,与短轴平行,且关于短轴对称
三、讲解范例:
例1 求下列椭圆的准线方程:(1) 2
解:⑴方程可化为 ,是焦点在轴上且,的椭圆
所以此椭圆的准线方程为
⑵方程是焦点在轴上且,的椭圆
所以此椭圆的准线方程为
例2 椭圆上有一点P,它到椭圆的左准线距离为10,求点P到椭圆的右焦点的距离
解:椭圆的离心率为,根据椭圆的第二定义得,点P到椭圆的左焦点距离为
再根据椭圆的第一定义得,点P到椭圆的右焦点的距离为20-8=12
四、课堂练习:
1.求下列椭圆的焦点坐标与准线方程
(1) (2)
答案:⑴焦点坐标;准线方程
⑵焦点坐标;准线方程
2.已知椭圆的两条准线方程为,离心率为,求此椭圆的标准方程
答案:
五、小结 :本节课学习了椭圆的第二定义,椭圆两种定义是等价的;椭圆的两种类型的准线方程也是不同的,须区别开来
上面(2)
即
同样(3)也可以这样处理,这是椭圆的焦半径公式
六、课后作业:
七、板书设计(略)
八、课后记:本课时背景材料是课本例4,学生解答例4并不困难,但对例4中直线的出现感到突然与困难,对由此得出的第二定义与第一定义有何内在联系搞不清楚 本设计通过反思椭圆标准方程的推导过程,引导学生自己去发现椭圆的第二定义 使学生明白两种定义是等价的,消除了学生困惑 利用引导学生去发现定义的教学,调动学生的积极性,加强了知识发生过程的教学 使用多媒体辅助教学,增加了课堂教学容量,提高了课堂教学效益
高中数学教案 第8章圆锥曲线方程(第5课时) 王新敞
新疆奎屯市第一高级中学 第 5页(共5页)
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