高中数学椭圆的经典知识总结2.doc

高中数学椭圆的经典知识总结2 知识要点知识点一：椭圆的定义到两个定点、的距离之和等于常数 ,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 　注意：若，则动点的轨迹为线段；　　　　　若，则动点的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程轴上时，椭圆的标准方程：，其中 2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程；　　2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；　　3．椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，； 当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为， 知识点三：椭圆的简单几何性质的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程：说明：把换成、或把换成、或把、同时换成、、原方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围：椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。　　②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 ，，，　　 ③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 （4）离心率：　　①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。　　②因为，所以的取值范围是。越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。注意：　　椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：（1）；；；　　（2）；；；　　（3）；；； 知识点四：椭圆的区别和联系 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于轴、轴和原点对称 顶点 ， ， 轴长 长轴长=，短轴长= 离心率 准线方程 焦半径 ， ， 注意：椭圆，的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有和，；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。 规律方法1．如何确定椭圆的标准方程？；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。 2．椭圆标准方程中的三个量的几何意义三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且。 可借助右图理解记忆： 　 　　　显然：恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。 3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置，的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 4．方程表示椭圆的条件可化为，即，所以只有A、B、C同号，且AB时，方程表示椭圆。当时，椭圆的焦点在轴上；当时，椭圆的焦点在轴上。 5．求椭圆标准方程的常用方法：的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；　　②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。 6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点的椭圆方程可设为，此类问题常用待定系数法求解。 7．判断曲线关于轴、轴、原点对称的依据：换成，方程不变，则曲线关于轴对称； ② 若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称； ③ 若把曲线方程中的、、，方程不变，则曲线关于原点对称。 8．如何与焦点三角形△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？△PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。 将有关线段，有关角 ()结合起来，建立、之间的关系. 9．如何椭圆的扁圆程度与离心率的关系？，，用表示为。 显然：当越小时，越大，椭圆形状越扁；当越大，越小，椭圆形状越趋近于圆。 4