2014届高考数学(理)一轮复习教案第四章三角函数与解三角形第7讲正弦定理和余弦定理(苏教版).doc

第7讲　正弦定理和余弦定理 考点梳理 1．正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)ab∶c＝sin Asin B∶sin C；(2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； (3)sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形为：cos A＝，cos B＝，cos C＝. 3．SABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r. 4．已知两边和其中一边的对角解三角形时，注意解的情况．如：已知a，b，A，则 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＜bsin A a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b 解的个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 【助学·微博】 　一条规律 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中，A＞Ba＞bsin A＞sin B. 一个命题规律 本讲是高考必考内容，重点为正弦、余弦定理及三角形面积公式．客观题以考查正、余弦定理解三角形为主，难度不大；解答题主要与函数结合考查，实现边角互化． 考点自测 1．(2012·镇江统考)设ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a，b，c，且＝，那么A＝________. 解析　由＝，＝，得＝，即sin A＝cos A，所以A＝. 答案　 2．(2012·济南外国语检测)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sin B＋cos B＝，则角A的大小为________． 解析　由sin＝，得B＝，由正弦定理，得sin A＝＝＝，又A＜B＝，所以A＝. 答案　 3．(2012·南京市学情调研)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csin A＝acos C，则角C＝________. 解析　由csin A＝acos C和正弦定理，得sin Csin A＝ sin Acos C，即tan C＝1.又C(0，π)，所以C＝. 答案　 4．(2012·苏北四市检测)在ABC中，已知BC＝1，B＝，ABC的面积为，则AC的长为________． 解析　由于ABC的面积S＝·AB·BC·sin B＝×AB×1×＝，所以AB＝4.由余弦定理得AC2＝1＋16－2×1×4×cos＝13，所以AC＝，即AC的长为. 答案　 5．(2012·南京模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,1＋＝，则角A的大小为________． 解析　1＋＝，sin(A＋B)＝2sin Ccos A 因为sin C≠0，所以cos A＝，A＝. 答案　 考向一　利用正弦定理求解三角形 【例1】 (2012·镇江市期末考试)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足bcos C＋c＝a. (1)求角B； (2)若a，b，c成等比数列，判断ABC的形状． 解　(1)由正弦定理得sin Bcos C＋sin C＝sin A. 而sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C， 故cos Bsin C＝sin C. 在ABC中，sin C≠0，故cos B＝. 因为0Bπ，所以B＝. (2)由b2＝ac及正弦定理，得sin Asin C＝sin2B＝sin2＝，又A＋C＝π－A＝， 所以sin Asin＝sin Acos A＋sin2A ＝sin 2A＋＝， 所以sin 2A－cos 2A＝2，即sin＝1. 又0A，所以2A－＝，A＝，从而C＝. 故ABC是等边三角形． [方法总结] (1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． (2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意． (3)综合性问题，可以选用正弦定理，也可能用余弦定理．本小题中的两小题都可以选用余弦定理，且第(2)小题选用余弦定理更为方便． 【训练1】 (2012·扬州调研一)已知f(x)＝sin－cos x. (1)求f(x)在[0，π]上的最小值； (2)已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，b＝5，cos A＝，且f(B)＝1，求边a的长． 解　(1)f(x)＝－cos x＝sin x＋cos x＝sin，≤x＋≤，当x＝π时，f(x)min＝－. (2)x＋＝2kπ＋，kZ时f(x)＝1，B是三角形内角，B＝，cos A＝，sin A