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北京市海淀区高三第二学期期末练习 数学 2003．5 学校______________班级______________姓名______________ 参考公式： 三角函数的和差化积与积化和差公式： 棱台体积公式： 其中S，S′分别表示棱台的上、下底面的面积；h表示高 球体积公式： 其中R表示球的半径 第I卷（共50分） 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为。那么向量对应的复数是（） （A）1 （B）-1 （C）（D） （2）（理科学生作）的值为（） （A）（B） （C） （D） （文科学生作）函数的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为（） （A）{-1，0，3}（B）{0，1，2，3} （C）{y|-1≤y≤3}（D）{y|0≤y≤3} （3）在等比数列中，，，那么等于（） （A）27 （B）-27 （C）81或-36 （D）27或-27 （4）将函数的图象C向左平移一个单位后，得到y=f(x)的图象，若曲线关于原点对称，那么实数a的值为（） （A）1 （B）-1 （C）0 （D）-3 （5）（理科学生作）在极坐标系中与圆相切的一条直线的方程是（） （A）（B） （C）（D） （文科学生作）过点（2，1）的直线中，被截得的最长弦所在的直线方程是（） （A）3x-y-5=0（B）3x+y-7=0 （C）x+3y-5=0（D）x-3y+1=0 （6）将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生。那么互不相同的分配方案共有（） （A）252种（B）112种 （C）70种 （D）56种 （7）设平面，点A、B∈平面α，点C∈平面β，且A、B、C均不在直线l上。给出四个命题： ①② ③④ 其中正确的命题是（） （A）①与②（B）②与③ （C）①与③（D）②与④ （8）函数f(x)是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数。若f(x)在[-1，0]上是减函数，那么f(x)在[2，3]上是（） （A）增函数 （B）减函数 （C）先增后减的函数 （D）先减后增的函数 （9）设双曲线（a0，b0）的实轴长、虚轴长、焦距依次成等差数列。那么这个双曲线的离心率e等于（） （A）2 （B）3 （C） （D） （10）设函数（a为实常数）在区间上的最小值为-4，那么a的值等于（） （A）4 （B）-6 （C）-4 （D）-3 第Ⅱ卷（非选择题共100分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。 （11）将棱长为1的正方体木块加工成一个体积最大的球，那么这个球的体积为________________。 （12）椭圆上到两个焦点距离之积最小的点的坐标是________________。 （13）不等式的解集为________________。 （14）已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c。若a=1，∠B=45°，△ABC的面积S=2，那么△ABC的外接圆的直径等于________________。 三、解答题：本大题共6个小题，共84分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （15）（本小题满分12分） 已知等差数列的前n项和为，且，， （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）设，且数列的前n项和为，求证：是等比数列；并求的值。 （16）（本小题满分14分） 设在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c且满足 （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）（理科学生作）若A=2C，试求角B的值。 （文科学生作）若A+C=90°，试求角C的值。 （17）（本小题满分16分） 如图，在正四棱柱中，，点E，M分别为，的中点，过点，B，Ｍ三点的平面交于点N （Ⅰ）求证：EM∥平面； （Ⅱ）求二面角的正切值； （Ⅲ）（理科学生作）设截面把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为，，求的值。 （文科学生作）设，求棱台的体积V。 （18）（本小题满分12分） 用分期付款的方式购买一批总价为2300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%。若首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批房实际支付多少万元？ （19）（本小题满分16分） 已知曲线C的方程为： （Ⅰ）若曲线C是椭圆，求k的取值范围； （Ⅱ）若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程； （Ⅲ）（理科学生作，文科学生不作）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P，Q关于直线l：y=x-1对称，若存在，求出过P，Q的直线方程；若不存在，说明理由。 （2