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3-5 线性系统的稳定性分析 1、稳定的概念及定义 2、稳定的充要条件 3、劳斯（Routh）稳定判据 1、稳定的概念及定义 2、稳定的充要条件 3、劳斯（Routh）稳定判据（1） 3、劳斯（Routh）稳定判据（2） 3、劳斯（Routh）稳定判据（3） 3、劳斯（Routh）稳定判据（4） 3、劳斯（Routh）稳定判据（5） 3、劳斯（Routh）稳定判据（6） 3、劳斯（Routh）稳定判据（8） * 图a A f 图b 图c d f c A 图c中，小球在C范围内，系统是稳定的，故可以认为该系统是条件稳定系统。 图a为稳定的系统。图b为不稳定系统。 稳定性：指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。 稳定：系统在扰动作用下偏离了原来的平衡位置，当扰动消除后，系统能回到原来的平衡位置，则称系统稳定；否则系统不稳定。 ！！！稳定是系统能够正常运行的首要条件。 所有特征根都具有负实部（不包括虚轴） 稳定 1、稳定的必要条件 设系统的特征方程为 稳定 [例] ——不稳 ——不稳（缺3次项） ——可能稳定 2. 劳斯判据 计算劳斯表 … … … … … … … … … … … … … … … … … … 劳斯判据 （1）系统稳定 （2）劳斯表第一列元素的符号改变次数 s右半平面特征根的个数 劳斯表第一列元素全为正 5 ［例］ 已知系统的特征方程为 试用劳斯判据分析系统的稳定性。 解 列劳斯表 1 3 5 2 4 0 结论：系统不稳定。变号两次，有两个闭极点在右半s平面。 用一个正数去乘某行，不会改变系统的稳定性结论。 [例]：系统的特征方程为： -1 3 0（ 2） 1 0 0（ ） ［结论］劳斯阵第一列有负数，系统是不稳定的。其符号变化两次，表示有两个极点在s的右半平面。 ［结论］系统是不稳定的，有两个根具有正实部。 劳思表某一行第一项系数为零，而其余系数不全为零时，用 代替零，继续劳斯判据。 [例]： 特殊情况 ［例］ 已知系统的特征方程为 分析系统的稳定性。 解：由特征方程列劳斯表 辅助方程： 求导： 劳斯阵出现全零行时，表明特征方程具有大小相等而方向相反的根。如：大小相等，符号相反的一对实根，或一对共轭虚根，或对称于虚轴的两对共轭复根。 解辅助方程A s 0： 3、劳斯（Routh）稳定判据（7） 3. 劳斯判据的应用 ①判定稳定性，确定正根的个数。 ②确定使系统稳定的参数取值范围。 ［例］ 设比例-积分（PI）控制系统如图所示， （1）确定使系统稳定 取值范围。 解： 1 （2）当要求闭环极点全部位于 垂线的左边，求 的取值范围。（相对稳定性） 解： -1 s s1 s s1 - 1 得系统新的特征方程为： 劳思表如下 解得