ch4 解的存在性和连续性.ppt

为此，任意给定收入r 0和价格 ，选一个开球V使得 。则对包含 p?的任何开集U以及U中这样的点 p = ( p1, p2)：p1? p2，都有D( p, r)?V = ?。故D( p, r)在( p?, r)处不是下半连续的。 (3) 移动通讯需求的上半连续性和非下半连续性 ? 移动通讯消费者明显地满足需求上半连续性定理的条件，因此移动通讯需求集映 D( p, r)是上半连续的。但它不是下半连续的，这一事实的证明思路是去证明在 p1 = p2 0 的地方D( p, r)不下半连续。 x1 x2 o o V p p1 p2 D( p, r) w D(w, r) w1 w2 D( p, r)?V =? ? =V ?D(w, r) 价格空间 消费集合 4.2 解的性质 4.2.1 解的存在性 例4.5--例4.9见教材P80—P81(请课外自己验证） 4.2.3 解的凹凸性 最大值定理不仅能判断最优化问题有解的条件，而且能够用 第四章 解的存在性与连续性 4.1 连续性的概念 4.1.2 对应的连续性 下面是对教材进行部分替换的内容及相关插补内容 ?集值映射 集值映射是经济学为自己创造的一种分析工具，主要用于研究需求与供给问题。与通常的映射相比，集值映射是取值为集合的映射，它反映的是元素与集合之间的某种对应关系。事实上，多值函数就是集值映射的一种形式。带歧视的价值函数就是一种集值映射。消费预算、需求、供给其实也都是集值映射，甚至连经济系统本身也可以看成是一种集值映射。 现实经济生活中，集值映射也是多见的。比如，消费选择。消费者往往因为百货商店的好多西太多而眼花缭乱，做不出唯一的选择：这件东西好，那件东西也好，买其中哪一个都行。这样，这件东西和那件东西都成为他需要且能够购买的商品，但只能购买其中之一。这种现象就是集值映射的一个典型事例：选择的不唯一性。 又如，抛物线 y 2 = 4x 所表达的变量 y与x之间的关系就是集值映射： 。 关于集值映射，讨论起来比单值映射要复杂得多。这里，我们只讨论与本课程有关的内容：集值映射的连续性。 (一) 集值映射的概念 定义 设 E 和F 是两个集合。如果对 E 中每个元素x，都有F 的子集? (x) 与之对应，则称这种对应关系为从 E 到F 的集值映射(set-valued map)，简称集映，记作 ? : E ?F 。如果集映 ? : E ?F 满足条件：(?x?E )(? (x) ?? )，则称? : E ? F 为对应(correspondence)。 x ? (x) ? : E ? F E F 补例1(预算对应) 集合 E, F 如下: E = {( p1, p2, r): ( p1?0)?( p2 ?0)?(r?0)} F = {( x1, x2): (x1?0)?(x2 ?0)} 对任何 ( p1, p2, r)?E，与之对应的F 的子集为? ( p1, p2, r) = {(x1, x2)?F : ( p1 x1 + p2 x2 ? r)}。则这一对应关系就 是一个集值映射，并且是对应。我们可把 ( p1, p2)看成价格向量，把 r 看成收入，则集合 ? ( p1, p2, r)就是支付不超过收入的消费方案的全体——预算集合，因而通常把 ? : E ?F 称为预算对应。 ? ( p1, p2, r) 补例2(集族) 通常的集族就是集映。比如，集族{Zt}t?T 实际上是集映 Z: T ?F，其中 F = ? Zt，Z(t) = Zt(对一切 t?T )。 t?T x1 x2 1.看作多值映射 通常所说的映射或函数都是单值映射或单值函数，即对于自变量的每一种取值，与之对应的因变量的值是唯一的；集值映射则实际上是多值映射，即对于自变量的每一种取值，与之对应的因变量的值是可能有多个，甚至无限多个。 补例3. 带人员歧视的价值函数 用 x 表示商品Q的数量，则下述集值映射 v : R+ ?R+ 是一种带有人员歧视的价值函数：v(x) = {x, exp(x) ?1, ln(1+ x)} ( x ? 0)。这是一个多值函数。 补例4. 反三角函数 经常使用的各种反三角函数都是多值函数，它们就是集值映射。比如，反正玄函数 Arcsin(x) 是从闭区间 [?1, 1] 到实数直线 R 的集值映射，即Arc