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定积分在几何中的简单应用NO15

高二二部数学学案NO.15 定积分在几何中的应用 设计人:苏瑞娟 审核人:李凤英 时间:2013.3.21 【课标要求】 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法; 【学习目标】 1、应用定积分解决平面图形的面积问题;使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。 2、通过数形结合的思想,加深对知识的理解,同时体会到数学研究的基本思路和方法。激发学生的求知欲,培养学生对学习的浓厚兴趣及严谨的科学思维习惯和方法。 【自主学习】 1、微积分基本定理是什么? 2、定积分的几何意义是什么? 3、(1)计算 (2)计算 4、思考:试用定积分表示下面各平面图形的面积值: 类型1.求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(ab)及x轴所围成平面图形的面积S 类型2:由两条曲线y=f(x)和y=g(x),直线x=a,x=b(ab)所围成平面图形的面积S 【典型例题】 例1、计算由曲线所围图形的面积S. 变式:求直线与抛物线所围成的图形面积。 例2:计算由直线曲线以及x轴所围图形的面积S. 变式:计算由与所围图形的面积. 例3、在曲线上的某点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为,试求切点A的坐标以及切线方程。 【拓展提高】. 如图直线y=kx将抛物线y=x-x2与x轴所围成的平面图形分成面积相等的两部分, 求实数k的值. 【课堂练习】 3、求抛物线y=x2-1,直线x=2,y=0所围成的图形的面积。 高二二部数学作业NO.15 定积分在几何中的应用 设计人:苏瑞娟 审核人:李凤英 时间:2013.3.21 一、基础题: 1.已知曲线在轴的下方,则由和所围成的曲边梯形的面积可表示为( ) A.  B.  C.   D. 2.曲线与坐标轴围成的面积是 (   ) A.4 B. C.3 D.2 3.若与是上的两条光滑曲线,则由这两条曲线及直线所围图形的面积( ). A. B. . D. 与曲线所围成的图形的面积为(   ) A.     B.    C.   D. 1.与轴所围成图形的面积是(  ) A.3    B.4    C.5    D.6  2.根据推断,直线和正弦函数所围成的曲边梯形的面积时,正确的结论为(  ) A.面积为0               B.曲边梯形在轴上方的面积大于其在轴下方的面积 C.曲边梯形在轴上方的面积小于其在轴下方的面积 D.曲边梯形在轴上方的面积等于其在轴下方的面积 二、发展题:求由曲线与围成的平面图形的面积 已知函数在x=1处有极值-2, (1)求常数a、b; (2)求曲线y=f(x)与x轴所包围的面积。                                                                                    由抛物线及其在点M(0,-3) 和N(3,0)处的两条切线所围成的图形的面积。 例3 求由抛物线y2=8x(y0)与直线x+y-6=0及y=0所围成的图形的面积. [剖析]利用待定系数法求出的值,以便于确定函数的解析式,再将y=f(x)与y=0联立,以确定积分区间,利用定积分求平面图形的面积。 [解](1),由f(1)=-2及f′(1)=0得:,解得; (2)由(1)知   ∴当或时,f(x)0,当或时,f(x)0,   ∴曲线y=f(x)与x轴所包围的面积:    . [警示]要把定积分与利用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开,定积分是一种积分和的极限,可正,也可以为负数或零;而平面图形的面积在一般意义下总是为正,因此当时,要通过绝对值处理成正,一般情况下是借助定积分求出两个曲边梯形的面积,然后再相加。 y (1) (2) a b o x y x o y x (1) (3) c b a o y x 2 6 6 O y x 1 y=x-x2 y=kx O y x (2) y=-x2+4x-3 o y x

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