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定积分在几何中的简单应用NO15
高二二部数学学案NO.15
定积分在几何中的应用
设计人:苏瑞娟 审核人:李凤英 时间:2013.3.21
【课标要求】
初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法;
【学习目标】
1、应用定积分解决平面图形的面积问题;使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。
2、通过数形结合的思想,加深对知识的理解,同时体会到数学研究的基本思路和方法。激发学生的求知欲,培养学生对学习的浓厚兴趣及严谨的科学思维习惯和方法。
【自主学习】
1、微积分基本定理是什么?
2、定积分的几何意义是什么?
3、(1)计算 (2)计算
4、思考:试用定积分表示下面各平面图形的面积值:
类型1.求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(ab)及x轴所围成平面图形的面积S
类型2:由两条曲线y=f(x)和y=g(x),直线x=a,x=b(ab)所围成平面图形的面积S
【典型例题】
例1、计算由曲线所围图形的面积S.
变式:求直线与抛物线所围成的图形面积。
例2:计算由直线曲线以及x轴所围图形的面积S.
变式:计算由与所围图形的面积.
例3、在曲线上的某点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为,试求切点A的坐标以及切线方程。
【拓展提高】.
如图直线y=kx将抛物线y=x-x2与x轴所围成的平面图形分成面积相等的两部分,
求实数k的值.
【课堂练习】
3、求抛物线y=x2-1,直线x=2,y=0所围成的图形的面积。
高二二部数学作业NO.15
定积分在几何中的应用
设计人:苏瑞娟 审核人:李凤英 时间:2013.3.21
一、基础题:
1.已知曲线在轴的下方,则由和所围成的曲边梯形的面积可表示为( )
A. B. C. D.
2.曲线与坐标轴围成的面积是 ( )
A.4 B. C.3 D.2
3.若与是上的两条光滑曲线,则由这两条曲线及直线所围图形的面积( ).
A. B.
. D.
与曲线所围成的图形的面积为( )
A. B. C. D.
1.与轴所围成图形的面积是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2.根据推断,直线和正弦函数所围成的曲边梯形的面积时,正确的结论为( )
A.面积为0
B.曲边梯形在轴上方的面积大于其在轴下方的面积
C.曲边梯形在轴上方的面积小于其在轴下方的面积
D.曲边梯形在轴上方的面积等于其在轴下方的面积
二、发展题:求由曲线与围成的平面图形的面积
已知函数在x=1处有极值-2,
(1)求常数a、b; (2)求曲线y=f(x)与x轴所包围的面积。
由抛物线及其在点M(0,-3)
和N(3,0)处的两条切线所围成的图形的面积。
例3 求由抛物线y2=8x(y0)与直线x+y-6=0及y=0所围成的图形的面积.
[剖析]利用待定系数法求出的值,以便于确定函数的解析式,再将y=f(x)与y=0联立,以确定积分区间,利用定积分求平面图形的面积。
[解](1),由f(1)=-2及f′(1)=0得:,解得;
(2)由(1)知
∴当或时,f(x)0,当或时,f(x)0,
∴曲线y=f(x)与x轴所包围的面积:
.
[警示]要把定积分与利用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开,定积分是一种积分和的极限,可正,也可以为负数或零;而平面图形的面积在一般意义下总是为正,因此当时,要通过绝对值处理成正,一般情况下是借助定积分求出两个曲边梯形的面积,然后再相加。
y
(1)
(2)
a
b
o
x
y
x
o
y
x
(1)
(3)
c
b
a
o
y
x
2
6
6
O
y
x
1
y=x-x2
y=kx
O
y
x
(2)
y=-x2+4x-3
o
y
x
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