实验2-FFT的实现.docVIP

实 验 报 告 学生姓名： 学 号： 指导教师： 一、实验室名称：数字信号处理实验室 二、实验项目名称：FFT的实现 三、实验原理： FFT算法思想： DFT的定义： 对于有限长离散数字信号{x[n]}，0 ( n ( N-1，其离散谱{x[k]}可以由离散付氏变换（DFT）求得。DFT的定义为： ，k=0,1,…N-1 通常令，称为旋转因子。 直接计算DFT的问题及FFT的基本思想： 由DFT的定义可以看出，在x[n]为复数序列的情况下，完全直接运算N点DFT需要（N-1）2次复数乘法和N（N-1）次加法。因此，对于一些相当大的N值（如1024）来说，直接计算它的DFT所作的计算量是很大的。 FFT的基本思想在于，将原有的N点序列分成两个较短的序列，这些序列的DFT可以很简单的组合起来得到原序列的DFT。例如，若N为偶数，将原有的N点序列分成两个（N/2）点序列，那么计算N点DFT将只需要约[(N/2)2 ·2]=N2/2次复数乘法。即比直接计算少作一半乘法。因子（N/2）2表示直接计算（N/2）点DFT所需要的乘法次数，而乘数2代表必须完成两个DFT。上述处理方法可以反复使用，即（N/2）点的DFT计算也可以化成两个（N/4）点的DFT（假定N/2为偶数），从而又少作一半的乘法。这样一级一级的划分下去一直到最后就划分成两点的FFT运算的情况。 基2按时间抽取（DIT）的FFT算法思想： 设序列长度为，L为整数（如果序列长度不满足此条件，通过在后面补零让其满足）。 将长度为的序列，先按n的奇偶分成两组： ，r=0,1,…,N/2-1 DFT化为： 上式中利用了旋转因子的可约性，即：。又令，则上式可以写成： (k=0,1,…,N/2-1) 可以看出，分别为从中取出的N/2点偶数点和奇数点序列的N/2点DFT值，所以，一个N点序列的DFT可以用两个N/2点序列的DFT组合而成。但是，从上式可以看出，这样的组合仅表示出了前N/2点的DFT值，还需要继续利用表示的后半段本算法推导才完整。利用旋转因子的周期性，有：，则后半段的DFT值表达式： ，同样， （k=0,1,…,N/2-1），所以后半段（k=N/2,…,N-1）的DFT值可以用前半段k值表达式获得，中间还利用到，得到后半段的值表达式为：（k=0,1,…,N/2-1）。 这样，通过计算两个N/2点序列的N/2点DFT，可以组合得到N点序列的DFT值，其组合过程如下图所示： -1 比如，一个N = 8点的FFT运算按照这种方法来计算FFT可以用下面的流程图来表示： 基2按频率抽取（DIF）的FFT算法思想： 设序列长度为，L为整数（如果序列长度不满足此条件，通过在后面补零让其满足）。 在把按k的奇偶分组之前，把输入按n的顺序分成前后两半： 因为，则有，所以： 按k的奇偶来讨论，k为偶数时： k为奇数时： 前面已经推导过，所以上面的两个等式可以写为： 通过上面的推导，的偶数点值和奇数点值分别可以由组合而成的N/2点的序列来求得，其中偶数点值为输入x[n]的前半段和后半段之和序列的N/2点DFT值，奇数点值为输入x[n]的前半段和后半段之差再与相乘序列的N/2点DFT值。 令，，则有： 这样，也可以用两个N/2点DFT来组合成一个N点DFT，组合过程如下图所示： -1 在FFT计算中使用到的MATLAB命令： 函数fft(x)可以计算R点序列的R点DFT值；而fft(x,N)则计算R点序列的N点DFT，若RN，则直接截取R点DFT的前N点，若RN，则x先进行补零扩展为N点序列再求N点DFT。函数ifft(X)可以计算R点的谱序列的R点IDFT值；而ifft(X,N)同fft(x,N)的情况。 四、实验目的： 离散傅氏变换（DFT）的目的是把信号由时域变换到频域，从而可以在频域分析处理信息，得到的结果再由逆DFT变换到时域。FFT是DFT的一种快速算法。在数字信号处理系统中，FFT作为一个非常重要的工具经常使用，甚至成为DSP运算能力的一个考核因素。 本实验通过直接计算DFT，利用FFT算法思想计算DFT，以及使用MATLAB函数中的FFT命令计算离散时间信号的频谱，以加深对离散信号的DFT变换及FFT算法的理解。 五、实验内容： 计算实数序列的256点DFT。 计算周期为1kHz的方波序列（占空比为50％，幅度取为＋/-512，采样频率为25kHz，取256点长度） 2