对数和对数的运算教案.docVIP

教学目标：1．理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质． 2．理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程． 3．熟练运用对数的性质和对数运算法则解题． 4．对数的初步应用. 教学重点：对数定义、对数的性质和运算法则 教学难点：对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导 教学方法：学导式 教学过程设计 师：一般地，如果a（a＞0，a≠1）的x次幂等于N，就是，那么数x就叫做以a为底N的对数(logarithm)，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式． 对数这个定义的认识及相关例子: (1)对数式logaN实际上就是指数式中的指数x的一种新的记法． (2)对数是一种新的运算．是知道底和幂值求指数的运算． 实际上这个式子涉及到了三个量a，x，N，由方程的观点可得“知二求一”．知道a，x可求N，即前面学过的指数运算；知道x（为自然数时）、N可求a，即初中学过的开根号运算，记作；知道a,N可以求x，即今天要学习的对数运算，记作logaN= x．因此，对数是一种新的运算，一种知道底和幂值求指数的运算．而每学一种新的运算，首先要学习它的记法，对数运算的记法为logaN，读作：以a为底N的对数．请同学注意这种运算的写法和读法． 师：下面我来介绍两个在对数发展过程中有着重要意义的对数． 师：（板书）对数logaN（a＞0且a≠1）在底数a=10时，叫做常用对数(common logarithm)，简记lgN；底数a=e时，叫做自然对数(natural logarithm)，记作lnN，其中e是个无理数，即e≈2.718 28……． 师：实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式．为了更深入认识并记忆对数这个概念，请同学们填写下列表格． ? 式子 名称? ? a x N? ? 指数式 对数式 ax=N logaN=x ? ? ? 练习1 ?把下列指数式写成对数形式： 练习2 ?把下列对数形式写成指数形式： 练习3 ?求下列各式的值： （两名学生板演练习1，2题（过程略），一生板演练习三．） 因为22=4，所以以2为底4的对数等于2． 因为53=125，所以以5为底125的对数等于3． （注意纠正学生的错误读法和写法．） 例题（教材第73页例题2） 师：由定义，我们还应注意到对数式logaN=b中字母的取值范围是什么？ 生：a＞0且a≠1；x∈R；N∈R． 师：N∈R？（这是学生最易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零．） 生：由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而ax=N中N总是正数． 师：要特别强调的是：零和负数没有对数． 师：定义中为什么规定a＞0，a≠1？ （根据本班情况决定是否设置此问．） 生：因为若a＜0，则N取某些值时，x可能不存在，如x=log（-2）8不存在；若a=0，则当N不为0时，x不存在，如log02不存在；当N为0时，x可以为任何正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a=1，N不为1时，x不存在，如log13不存在，N为1时，x可以为任何数，是不唯一的，即log11有无数多个值．因此，我们规定：a＞0，a≠1． （此回答能培养学生分类讨论的数学思想．这个问题从ax=N出发回答较为简单．） 练习4? 计算下列对数： lg10000，lg0.01，，，，． 师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想． 生：=4．这是因为log24=2，而22=4． 生：=27．这是因为log327=3，而33=27． 生：=105． 生：我猜想，所以=1125． 师：非常好．这就是我们下面要学习的对数恒等式． 师：（板书） （a＞0，a≠1，N＞0）．（用红笔在字母取值范围下画上曲线） （再次鼓励学生，并提出更高要求，给出严格证明．）（学生讨论，并口答．） 生：（板书） 证明：设指数等式ab=N，则相应的对数等式为logaN=b，所以ab= 师：你是根据什么证明对数恒等式的？ 生：根据对数定义． 师：（分析小结）证明的关键是设指数等式ab=N．因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的知识只有定义，所以显然要利用定义加以证明．而对数定义是建立在指数基础之上的，所以必须先设出指数等式，从而转化成对数等式，再进行证明． 师：对对数的定义我们已经有了一定认识，现在，我们根据定义来进一步研究对数的性质． 师：负数和零有没有对数？并说明理由． 生：负数和零没有对数．因为定义中规定a＞0，所以不论x是什么数，都有ax＞0，这就是说，不论x是什么数，N=ax永远是正数．因此，由等式x=logaN可以看到，负数和零没有对数． 师：非常好．由于对数定义是建立在指数定义的基础之上，所以我们要充分利用指数的知识来研究对数． 师：（