李雅普诺夫稳定性基本定理.ppt

Ch.5 李雅普诺夫稳定性分析 目录(1/1) 目 录 概述 5.1 李雅普诺夫稳定性的定义 5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理 5.3 线性系统的稳定性分析 5.4 非线性系统的稳定性分析 5.5 Matlab问题 本章小结 李雅普诺夫稳定性的基本定理(1/2) 李雅普诺夫稳定性的基本定理(2/2) 李雅普诺夫第一法(1/7) 李雅普诺夫第一法(2/7) 李雅普诺夫第一法(3/7) 李雅普诺夫第一法(4/7) 李雅普诺夫第一法(5/7) 李雅普诺夫第一法(6/7) 李雅普诺夫第一法(7/7)—例5-1 李雅普诺夫第一法(8/7) 李雅普诺夫第二法(1/3) 李雅普诺夫第二法(2/3) 李雅普诺夫第二法(3/3) 数学预备知识(1/1) 实函数的正定性(1/4)—函数定号性定义 实函数的正定性(2/4)—函数定号性定义 实函数的正定性(3/4)—函数定号性定义 实函数的正定性(4/4) 实函数的正定性(5/4) 5) 不定函数 函数的定号性是一个相对概念,与其函数定义域有关。 如,函数 对x1与x2组成的2维空间为非负定的,但对于1维空间x2则为正定的。 上面定义了时不变函数V(x)的定号性,相应地可以定义标量时变函数V(x,t)的定号性。 实函数的正定性(6/4) 定义5-7 设x?Rn,?是Rn中包含原点的一个封闭有限区域,实函数V(x,t)是定义在[t0,?)??上的一个标量函数且V(0,t)=0,标量连续函数?(||x||)和?(||x||)为非减(函数值单调增加)的且满足 ?(0)=?(0)=0, 1) 如果对任意t?t0和x?0, V(x,t)为有界正定的,即 0?(||x||)?V(x,t)??(||x||)， 称函数V(x,t)为[t0,?)??上的(时变)正定函数。 2) 如果对任意t?t0和x?0,分别为 有界负定，即0-?(||x||)?V(x,t)?-?(||x||)； 有界非负定，即0?V(x,t)??(||x||)； 有界非正定，即0?V(x,t)?-?(||x||)， 实函数的正定性(6/4) 分别称函数V(x,t)为[t0,?)??上的(时变)负定函数、非负定函数和非正定函数。 3) 如果存在t?t0,无论取多么小的原点的某个邻域,V(x,t)可为正值也可为负值,则称函数V(x,t)为不定函数。 二次型函数和对称矩阵的正定性(1/4) 二次型函数和对称矩阵的正定性(2/4) 二次型函数和对称矩阵的正定性(3/4) 二次型函数与一般函数一样,具有正定、负定、非负定、非正定和不定等定号性概念。 二次型函数V(x)和它的对称权矩阵P是一一对应的。 因此,由二次型函数的正定性同样可定义对称矩阵P的正定性。 定义5-8 设对称矩阵P为二次型函数V(x)的权矩阵,当V(x)分别为正定、负定、非负定、非正定与不定时,则称对称矩阵P相应为正定、负定、非负定、非正定与不定。 □ 二次型函数和对称矩阵的正定性(4/4)--矩阵定号性定义 因此,由上述定义就可将判别二次型函数的正定性转换成为判别对称矩阵的正定性。 对称矩阵P为正定、负定、非负定与非正定时,并可分别记为 P0, P0, P≥0, P≤0。 矩阵正定性的判别方法(1/5) (3) 矩阵正定性的判别方法 判别矩阵的正定性(定号性)的方法主要有 塞尔维斯特判别法、 矩阵特征值判别法和 合同变换法。 下面分别介绍。 矩阵正定性的判别方法(2/5)--塞尔维斯特定理 定理5-1(塞尔维斯特定理) (1) 实对称矩阵P为正定的充要条件是P的各阶顺序主子式均大于零,即 矩阵正定性的判别方法(2/5)—矩阵定号性判定定理 定理5-2 实对称矩阵P为正定、负定、非负定与非正定的充分必要条件是P的所有特征值分别大于零、小于零、大于等于零与小于等于零; 实对称矩阵P为不定的充分必要条件是P的特征值有正有负。 □ 定理5-3 实对称矩阵P必定可经合同变换化成对角线矩阵,则P为正定、负定、非负定与非正定的充分必要条件是的所有对角线元素分别大于零、小于零、大于等于零与小于等于零; P为不定的充分必要条件是的对角线元素有正有负。 矩阵正定性的判别方法(3/5)—矩阵定号性判定定理 定理5-3中的合同变换是指对对称矩阵的同样序号的行和列同时作同样的初等变换。 上述三种判别实对称矩阵P的定号性的方法,各有千秋。但总的说来, 基于塞尔维斯特定理的方法计算量较大,若将该方法推广到判别非负定性和非正定性,则计算量成指数性地增加。 特征