12.3角平分线的性质课件（共14张PPT）.pptVIP

角平分线的性质 在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？ A B C 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？ A O B C 再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？ （对折） 探究角平分线的性质 (1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ (2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线性质.gsp 证明：∵OC平分∠ AOB （已知） ∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB ∴ ∠PDO= ∠PEO=900 ∵ OP=OP （公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（A.A.S.） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等） P A O B C E D 1 2 已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 求证: PD=PE (3)验证猜想 符号语言 题设：∵ ∠1= ∠2, PD ⊥ OA， PE ⊥ OB结论：∴PD=PE P A O B C E D 1 2 (4)角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等。 1、 判断题（ ） ∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴BD = DC ( ) 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 × 2、在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA的距离为3cm，则P到OB的距离边为＿＿＿cm. ３ 活动三 随堂练习 ３． 如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等． 提示：作∠AOB的平分线，交直线l 于P就是所求的点 随 堂 练 习 如图，在Rt△ABC 中， 做完本题后，你对角平分线,又增加了什么认识? 思考 角平分线的性质，为我们证明两条线段相等 又提供了新的方法与途径。 A B C BD是角平分线 ， DE⊥AB，垂足为E， E DE与DC 相等吗？ D 答： DE=DC。 ∵ BD是∠ABC的平分线 且DE⊥BA， ∴ DE=DC。 为什么？ DC⊥BC， 已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上． O C B 1 A 2 P D E 证明： ∵PD⊥OA，PE⊥OB， 在Rt △PDO 与Rt △PEO中 ∴∠PDO= ∠PEO=900 ∵PD=PE（已知） OP=OP（公共边） ∴Rt△PDO≌ Rt △PDO(H.L.) ∴∠1=∠2 即点P在∠AOB的平分线上 角平分线上的点到角两边的距离相等。 逆命题 角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上. 题设∵PD=PE PD⊥OA， PE⊥OB 结论 ∴ OC平分 ∠AOB A C B E D P M H K 例题如图，在△ABC的 顶点 B的外角的平分线BD与 顶点 C的外角的平分线CE相交于点P． 求证：点Ｐ到三边AB、BC、AC的距离相等． 证明：过点P作PM⊥AB、PK⊥BC、PH⊥AC，垂足分别为M、K、H。 ∵BD平分∠CBM PM⊥AB、PK⊥BC ∴PK＝PM 同理PK＝PH ∴PK＝PM＝PH 即点P到三边AB、BC、AC的距离相等 若求证点P在∠BAC的平分线上，又该如何证明呢？ 3、如图，O是三条角平分线的交点， OD⊥BC于D，OD=3， △ABC的 周长为15，求S△ABC A B C O M N G D 小结 下课了! 这节课我们学到了什么？ ①掌握了角平分线的性质定理及其逆定理. ②利用角平分线性质定理证明两条线段相等.