向量与解析几何结合专题.doc

向量与解析几何相结合专题复习 平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题。 一：将向量及其运算的几何意义转化为平面图形的位置关系或数量关系 【例1．】已知△ABC中，A、B两点的坐标分别为（－4，2）、（3，1），O为坐标原点。已知＝λ·，＝λ·，∥，且直线CD的方向向量为＝（1，2）求顶点C的坐标。 【解】如图：∵＝λ·，∴λ＝ ∵＝λ·，∴A、D、B三点共线，D在线段AB上， 且λ＝ ∴= ∴CD是△ABC中∠C的角平分线。 ∴A、D、B三点共线∥∴O、C、D三点共线,即直线CD过原点。 又∵直线CD的方向向量为＝（1，2），∴直线CD的斜率为2 ∴直线CD的方程为：y＝2x （注意：至此，以将题中的向量条件全部转化为平面解析几何条件，下面用解析几何的方法解决该题） 易得：点A（－4，2）关于直线y＝2x的对称点是A’（4,－2），（怎样求对称点？） ∵A’（4,－2）在直线BC上 ∴直线BC的方程为：3x＋y－10＝0 由得C（2，4） 【解题回顾】本题根据向量共线的条件将题设中的＝λ·和∥转化为三点共线，实现了向量条件向平面位置关系的转化；而由λ＝=，实现了向量条件向平面图形的数量关系的转化，从而从整体上实现了由向量条件向平几及解条件的转化。 【例2】．已知＝（－3，0），＝（3，0），（O为坐标原点），动点M满足：＋＝10。 （1）求动点M的轨迹C； （2）若点P、O是曲线C上任意两点，且·=0，求的值 【解】（1）由＋＝10知： 动点M到两定点F1和F2的距离之和为10 根据椭圆的第一定义：动点M的轨迹为椭圆： （2）∵点P、O是上任意两点 设P()，Q() （注意：这是点在椭圆上的一种常规设法，也是椭圆的参数方程的一个应用） ∵·=0 得：＝0 ① 而、都可以用α、β的三角函数表示，利用①可以解得： ＝ 【例3．】在△ABC中，A(2，3)，B(4，6)，C(3，－1)，点D满足：·＝· （1）求点D的轨迹方程； （2）求||＋||的最小值。 解：（1）设D（x，y），则＝（－1，4），＝（x－3，y＋1）,＝（1，7） ∵·＝· ∴（－1）·（x－3）＋4·（y＋1）＝（x－3）·1＋（y＋1）·7 整理得：2x＋3y＝0 (2)易得点A关于直线2x＋3y＝0的对称点的坐标为M（－2，－3）， ∴||＋||的最小值为：||＝ 【注意】这里利用向量的几何意义，将问题综合为在直线2x＋3y＝0上找一点，使它到点A、B的距离之和最小，利用对称点法解决。 二：将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程。 【例4．】已知：过点A（0，1）且方向向量为＝（1，k）的直线l与⊙C：相交与M、N两点。 （1）求实数k的取值范围； （2）求证：·为定值； （3）若O为坐标原点，且·＝12，求k的值。 【解】∵直线l过点A（0，1）且方向向量为＝（1，k） ∴直线l的方程为：y＝kx＋1 （注意：这里已知方向向量即已知直线的斜率） 将其代入⊙C：，得：① 由题意：△＝得： （注意：这里用了直线和方程组成方程组，方程有两根；本题还可以用圆与直线有两个交点，dR来解） （2）利用切割线定理可以证明||·||＝||=7,AT为切线，T为切点。 根据向量的运算：·＝||·||·cos00＝7为定值。 （注意：本题也可以设出M（）、N（）的坐标，把、用坐标表示，由①利用韦达定理来证明） （3）设M（），N（），则由①得： ∴·＝＋＝ ＝＝12k＝1（代入①检验符合题意） 【例5．】已知：O为坐标原点，点F、T、M、P1满足=(1,0), =(－1，t)，=,⊥,∥。 （1）当t变化时，求点P1的轨迹方程； （2）若P2是轨迹上不同与P1的另一点，且垂直非零实数λ，使得=λ· 求证：+=1 【解】设P1（x，y），则由：=得M是线段FT的中点，得M ∴＝（－x，－y）， 又∵＝－＝（－2，t），＝（－1－x，t－y） ∵⊥ ∴2x＋t(－y)＝0 ① ∵∥ ∴（－1－x）·0＋（t－y）·1＝0化简得：t＝y ② 由①、②得： （注意：①这里用了参数方程的思想求轨迹方程；②也可以利用向量的几何意义，利用抛物线的定义判断轨迹为抛物线，从而求解。） （2）易知F（1，0）是抛物线的焦点，由=λ·， 得F、P1、P2三点共线，即直线P1P2为过焦点F的弦 设P1（）、P2（）,直线P1P2的方程为：y＝k(x－1)代入得： 则·＝1，＋＝ ∴+＝＋＝＝1 （注意：①这里利用抛物线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离；②利用了