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圆锥曲线综合应用专题二
圆锥曲线综合应用专题二
1.已知椭圆的方程为,双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点,而的左、右顶点分别是的左、右焦点.
(1)求双曲线的方程;
(2)若直线与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且(其中O为原点),求的范围.
2.如图,过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于A、B两点,点Q是点P关于原点的对称点.
设点P(为实数),证明;
⑵.设直线AB的方程是过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线,求圆C的方程.
出发,经直线上一点反射后,恰好穿过点.
(Ⅰ)求点关于直线的对称点的坐标;
(Ⅱ)求以、为焦点且过点的椭圆的方程;
(Ⅲ)设直线与椭圆的两条准线分别交于、两点,点为线段上的动点,求点 到的距离与到椭圆右准线的距离之比的最小值,并求取得最小值时点的坐标.
4.已知平面上一定点和一定直线P为该平面上一动点,作垂足为,.
(1) 问点P在什么曲线上?并求出该曲线方程;
点O是坐标原点,两点在点P的轨迹上,若求的取值范围.
5.如图,已知E、F为平面上的两个定点 ,,且,·,(G为动点,P是HP和GF的交点)
(1)建立适当的平面直角坐标系求出点的轨迹方程;
(2)若点的轨迹上存在两个不同的点、,且线段的中垂线与
(或的延长线)相交于一点,则<(为的中点).
6.已知动圆过定点,且与直线相切求动圆的圆心轨迹的方程;
,使过点(0,1),并与轨迹交于两点,且满足?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
7.已知若动点P满足
(1)求动点P的轨迹方C的方程;
(2)设Q是曲线C上任意一点,求Q到直线的距离的最小值.
8已知抛物线x=2py(p0),过动点M(0,a),且斜率为1的直线L与该抛物线交于不同两点A、B,|AB|≤2p,
(1)求a的取值范围;
(2)若p=2,a=3,求直线L与抛物线所围成的区域的面积;
9.如图,直角梯形ABCD中,∠,AD∥BC,AB=2,AD=,BC=
椭圆F以A、B为焦点且过点D,
(Ⅰ)建立适当的直角坐标系,求椭圆的方程;
(Ⅱ)若点E满足,是否存在斜率
两点,且,若存在,求K的取值范围;若不存在,说明理由.
10.已知是函数图象上一点,过点的切线与轴交于,过点作轴的垂线,垂足为 .
(1)求点坐标;
(2)若,求的面积的最大值,并求此时的值.
的方程为 (1分)
则,再由得, (3分)
故的方程为 (4分)
(2)将代入
得 (5分)
由直线与双曲线C2交于不同的两点得:
(7分)
且① (8分)
设,则
(10分)
又,得
即,解得:② (12分)
由①、②得:,故k的取值范围为. (14分)
2.解⑴.依题意,可设直线AB的方程为,代入抛物线方程,得:
① …………………………………………………………… 2分
设A、B两点的坐标分别是、,则是方程①的两根,
所以,. ……………………………………………………………………… 3分
由点P(为实数,),, 即.
又点Q是点P关于原点的以称点,故点Q的坐标是,从而.
=
=
= =0 ………………………… 6分
所以,. ………………………………………………………………… 7分
⑵.由得点A、B的坐标分别是、.
由得,
所以,抛物线在点A处切线的斜率为. …………………………………… 9分
设圆C的方程是,
则 ……………………………………… 11分
解得:.……………………………………… 13分
所以,圆C的方程是. ……………………………………… 14分
3.解:(Ⅰ)设的坐标为,则且.……2分
解得, 因此,点 的坐标为. …………………4分
(Ⅱ),根据椭圆定义,
得,……………5分
,.
∴所求椭圆方程为. ………………………………7分
(Ⅲ),椭圆的准线方程为. …………………………8分
设点的坐标为,
表示点到的距离,表示点到椭圆的右准线的距离.
则,.
, ……………………………10分
令,则,
当,, ,.
∴ 在时取得最小值. ………………………………13分
因此,最小值=,此时点的坐标为.…………14分
注:的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得.
说明:求得的点即为切点,的最小值即为椭圆
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