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地震纵波和横波传播的动力学特点
§1.3地震纵波和横波传播的动力学特点
序:在无限均匀的、各向同性的、理想的弹性介质中,只存在纵波和横波。
讨论这种介质中波传播的动力学特点(A、f、φ的变化)
讨论这种介质中波场的定量计算
讨论粘弹介质的情况
地震波的球面扩散
1.波动方程
(6.1-8)
其中 λ、μ是拉梅常数, ρ是密度
是位移向量
是外力向量
是拉普拉斯算子
是体变系数
是体变系数的梯度
2.复习场论的几点内容
胀缩力,产生固体、气体、液体的 剪切力、产生固体的转
体积大小变化,形成纵波是无旋场 动,形成横波,是无散场。
3.纵波的波动方程
(1)方程
如果外力是胀缩力、无剪切力,则外力矢量是无旋场,位移矢量就是无旋的。即,则表明介质中的各小部分只有体积的胀缩,而没有转动,介质中就只有纵波而没有横波。
对(6.1-8)求散度(div)得纵波方程:
或 (6.1-9)
物理意义
如果对介质作用胀缩外力div的话,产生由体变系数θ决定的介质体积相对胀缩的扰动,这就是纵波,纵波的传播速度为
(6.1-11)
4.横波的波动方程
方程
如果外力是剪切力无胀缩力,则外力矢量是无散的。位移矢量就是无散的。即 ,则表示介质各小部分只有转动而没有体积的胀缩,介质中就只有横波而无纵波。
对(6.1-8)式求旋度(rot)得横波方程
或 (6.1-10)
其中
(2)物理意义:
如果对介质作用旋转外力rot的话,产生由向量决定的角度转动的扰动,这就是横波,横波的传播速度为
(6.1-11)
大家知道气体和液体中不可能有横波,为什么呢?因为无法对气体和液体施加旋转力或剪切力。
用位移位表示纵、横波的波动方程
就象重力场可用重力位、电场可用电位来描述一样,地震波场也可用质点位移的位移位描述。
根据涡流电场的理论:任何一个矢量场,如果在定义域内有散度和旋度,则任何一个矢量场=该矢量场的标量位的梯度+该矢量场的矢量位的旋度
则位移矢量场=位移矢量场的标量位的梯度+位移矢量场的矢量位的旋度,
即 (6.1-12)
其中——位移场的标量位
——位移场的矢量位
——标量力位
——矢量力位
将(6.1-12)代入(6.1-9)和(6.1-10),得
用位移位表示的纵波波动方程: (6.1-13)
用位移位表示的横波波动方程: (6.1-14)
求解波动方程
求解齐次波动方程
①齐次方程
要研究波的动力学特点,则要求解其波动方程。
求解波动方程要知道初始条件。地震勘探中一般用炸药震源,激发出的脉冲波的延续时间为Δt,可写成:
(6.1-15)
(6.1-15)式中,当tΔt时,的物理意义是震源力作用已结束,波动在弹性介质中传播,标量力位=0,矢量力位=0,此时波动方程(6.1-13)和(6.1-14)变为齐次方程:
(6.1-16)
(6.1-17)
②齐次方程的解
齐次方程的解只研究波与介质性质的关系,而不考虑震源力的作用,这类问题属于波的传播问题。
但波的性质首先决定于震源的性质,则必须将波动与震源联系起来,这就要求解非齐次方程,这类问题属于波的激发问题。
因此研究波动方程的解时,思想方法是:先求解齐次方程,这样数学上容易处理,只研究波同介质的关系,不涉及震源,使问题单一化。然后再研究激发问题,把波同震源联系起来。
纵波和横波的波动方程(6.1-16)和(6.1-17)形式完全一样,求解的数学过程完全相同,下面以纵波为例。
用图6.1-4所示的球腔震源模拟实际炸药震源,半径为a的球腔具有球形对称性,均匀作用在球腔壁上的力是单位正压力P0 。
P8 图6.1-4
考虑到球形对称性,将(6.1-16)用球坐标(r,α,β)表示,因为球形对称性,方程与α、β无关,于是(6.1-16)成为:
(6.1-18)
可见方程只与传播距离r有关,三维波动方程变成一维波动方程。如果令 , 上式成为
(6.1-19)
上式为弦方程,可用达朗贝尔法解,得
(6.1-20)
a——是震源球腔半径
r——是传播距离
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