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小学数学课外学习材料 五年级暑期 第一讲　　等差数列(一) 　　按顺序排列的一列数叫数列。数列中的数叫做项, 第一个数叫首项, 第二个数叫第二项……,最后一个数叫末项。像 3、7、11、15、19、23 这样的数列, 相邻两项的差都相等, 叫等差数列, 相等的差叫公差。生活中, 经常会遇到求等差数列的和一类的问题。为此，再取一个相同的数列, 把顺序颠倒一下, 然后逐项相加, 这就相当于首项与末项, 第二项与倒数第二项, 第三项与倒数第三项……末项与首项相加, 于是这两个等差数列的和等于 (3＋23)＋(7＋19)＋(11＋15)＋(15＋11)＋(19＋7)＋(23＋3) 很明显, 括号里的 6 个和相等, 都等于 3＋23 的和,于是总和等于 (3＋23)×6。即, 原来等差数列的和等于 (3＋63)×6÷2。如果把 3 换成“首项”, 23 换成“末项”，6换成“项数”，就得到等差数列的求和公式： 和＝(首项＋末项)×项数÷2 例 1 计算 123＋234＋345＋456＋567＋678＋789。 解：原式＝(123＋789)×7÷2＝3192。 等差数列的用途非常广泛, 应用中除了求和以外, 还可能求公差或项数。 例 2 在二千多年前, 古代巴比伦人的泥板书里有这样一道题: 弟兄 10 个分 100 两银子, 老大分的最多, 从老二起一个比一个少, 但是所少的数都相同, 已知老八分了 6 两, 问挨肩的两兄弟相差多少两? 解：在导出等差数列求和公式的过程中, 我们知道首项与末项, 第二项与倒数第二项, 第三项与倒数第三项……末项与首项的和都相等, 等于多少呢? 从公式看, 应该是“和的 2 倍除以项数”。因此, 老八与老三一共分了 100×2÷10＝20 (两), 老三应该分 20－6＝14 (两), 老八比老三少分 14－6＝8 (两), 而老八比老三少 8－3＝5 (个)公差, 所以, 挨肩的两兄弟相差 8÷5＝1.6 (两)。 例 3 求 200 到 300 之间, 所有 7 的倍数的和是多少? 解：200÷7＝28……4, 所以大于 200 的 7的倍数中, 最小的一个是 7×29＝203。300÷7＝42……6, 所以, 小于 300 的 7 的倍数中,最大的一个是 7×42＝294。因此 200 到 300 之间 7 的倍数有 42－29＋1＝14(个)。这14 个数的和是 (203＋294)×14÷2＝497×14÷2＝3479。 练 习 一 带“*”的是选做题。 1. 计算 15＋19＋23＋27＋31＋35＋39＋43＋47＋51。 2. 一个剧场共有 20 排座位, 第一排有 38 个座位, 往后每一排都比前一排多 2 个座位, 这个剧场一共有多少个座位? 3. 大华纺织厂举行青年徒工技能大赛, 取前 6 名, 第一名奖金 1000 元, 以下每低一个名次, 奖金少 100 元, 这次大赛共发奖金多少元? 4. 从 1 到 100 所有 5 的倍数的和是多少? 5. 在 300 到 400 之间, 所有能被 9 整除的数的和是多少? * 6. 下图中共有 30 个数,除了第一行和第一列以外, 其余各数都等于同一行最左边的数与同一列最上边的数的和。这 30 个数的总和是多少? 10 11 13 15 17 19 12 23 25 27 29 31 14 25 27 29 31 33 16 27 29 31 33 35 18 29 31 33 35 37 第二讲 等差数列(二) 在日常生活中, 经常会遇到自然数列、偶数列和奇数列, 这些数列都是等差数列。这一讲我们就来根据等差数的求和公式, 分别导出这些常见数列的求和公式。 一、自然数列 1, 2, 3, …, n 是公差为 1 的等差数列, 根据等差数列的求和公式, 可以得到自然数列的求和公式:　S＝n×(n＋1)÷2 例 1 求 1＋2＋3＋…＋100。 解：因为 n＝100, 所以 　S＝1＋2＋3＋…＋100＝100×(100＋1)÷2＝5050 二、偶数列 2, 4, 6,… 是公差为 2 的等差数列, 每一项都是自然数列对应项的 2 倍, 所以第 n 项是 2n, 于是前 n 个偶数和　S＝n×(2n＋2)÷2＝2n×(n＋1)