希尔伯特变换的定义和性质.doc

1 希尔伯特变换的定义 1) 卷积积分 设实值函数,其中，它的希尔伯特变换为 ， (1) 常记为 (2) 由于是函数与的卷积积分，故可写成 =* (3) 2) 相位 设，根据(3)式和傅里叶变换性质可知，是的傅里叶变换和的傅里叶变换的乘积。由 (4) 得 可表达为 或者 所以是一个相移系统，即希尔伯特变换等效于的相移，对正频率产生的相移，对负频率产生相移，或者说，在时域信号中每一频率成分移位波长。因此，希尔伯特变换又称为90度移相器。 3) 解析信号的虚部 为进一步理解希尔伯特变换的意义，引入解析函数: (5) 也可以写成 (6) 其中，称为希尔伯特变换的包络；称为瞬时响应信号。 希尔伯特变换包络定义为 (7) 相位定义为 (8) 瞬时频率定义为 (9) 根据傅里叶变换式 (10) 为计算，由知 (11) 其中 因此，可以简单地从得到，而的虚部即。 2. 希尔伯特变换的性质 1) 线性性质 若a,b为任意常数，且，，则有 (12) 2) 移位性质 (13) 3) 希尔伯特变换的希尔伯特变换 (14) 此性质表明，两重希尔伯特变换的结果仅使原函数加一负号，由此可以进一步得到 (15) 4) 逆希尔伯特变换 (16) 为与的卷积，可表示为 (17) 其中，。 5) 奇偶特性 如果原函数是的偶（奇），则其希尔伯特变换就是的奇（偶）函数，即 (18) 6) 能量守恒 根据帕塞瓦尔定理可知 和 因而有 (19) 7) 正交性质 (20) 8) 调制性质 对任意函数，其傅里叶变换是带限的，即 则有 (21) 9) 卷积性质 (22) 另外，希尔伯特变换具有周期性和同域性，即希尔伯特变换不改变原函数的周期性，也不改变域表示，而不像傅里叶变换那样，把时间函数（信号）从时域表示换成频域表示。