平面与平面平行的判定及其性质 练习.doc

平面与平面平行的判定和性质 1.已知a和b是异面直线，a⊥b，a⊥α，bα，求证：b∥α. 分析：从面面平行的角度来证明该题，构造平面就成为解决问题的关键. 证明：过b上一点P作a的垂线PQ交直线a于点Q，则直线b与PQ确定一个平面β ∵a⊥b,a⊥PQ,b∩PQ=P ∴a⊥β,又a⊥α ∴α∥β,∵bβ，∴b∥α. 2.设AB、CD为夹在两个平行平面α、β之间线段，且直线AB、CD为异面直线，M、P分别为AB、CD的中点，求证：MP∥α. 证明：经过点A和CD作平面，该平面和α、β相交于AC、ED 因α∥β，∴AC∥ED 取AE的中点N，则NP∥AC，NP∥ED 由题MN∥BE，MN∩NP=N 故面MNP∥α,MPα，∴MP∥α. 评述：该题的证明过程渗透了等价转化思想，通过平面AEDC使异面问题转化为同一平面上线与线位置问题，将线面平行面面平行线面平行，随着转化的完成，证明过程也随着结束，转化是关键. 3.线段PQ分别交两个平行平面α、β于A、B两点，线段PD分别交α、β于C、D两点，线段QF分别交α、β于F、G两点，若PA=9，AB=12，BQ=12，△ACF的面积为72，求△BDE的面积. 解：∵面QAF∩α=AF，面QAF∩β=BE 又∵α∥β,∴AF∥BE 同理可证：AC∥BD ∴∠FAC=∠EBD或互补 由FA∥BE 由BD∥AC 由题：AF·ACsinFAC=72 ∴S△DBE= BE·BD·sinEBD ×72=84 ∴△BDE的面积为84平方单位. 评述：此题解决过程中体现整体思想的运用，即△ACF面积的得到用的是式子AF·AC·sinFAC=72，而没有去求AF、AC，而且转化的思想也渗透其中， 面面平行线线平行这是两个平面平行的性质运用结果. 4.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中. （1）求证：平面A1BD∥平面CB1D1； （2）求平面A1BD和平面CB1D1的距离. （1）证明一：因面AC∥面A1C1 面BB1D1D∩面AC=BD 面BB1D1D∩面A1C1=B1D1 ∴BD∥B1D1 同理B1C∥A1D 故B1D1∥面A1BD，B1C∥面A1BD，面B1D1C∥面A1BD. 证明二：因B1C1⊥面A1B，A1B⊥AB1 ∴A1B⊥AC1 同理可证BD⊥AC1 故AC1⊥面A1BD，AC1⊥面D1B1C 即面A1BD∥面D1B1C. 证明三：因BB1DD1 ∴BB1D1D是平行四边形 即BD∥B1D1 以上同证明一. （2）解：AC1分别交面B1D1C及面A1BD于M、N两点 面AA1C1C∩面A1BD=A1O 面AA1C1C∩面D1B1C=CO1 则A1O∥CO1 由上可知AC1⊥面B1D1C，AC1⊥面A1BD 即MN为所求距离 又 评述：该题是立体几何的一个典型题目，主要涉及两个平行平面的判定、性质及距离、等价转化思想、渗透较多.如平面间距离线面间距离线线距离点线距离.（其中平面与平面、直线与直线应是平行的，有时线面距离也转化为点面距离）.