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抽象函数的性质问题解析 抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。 定义域：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。 材料一：若函数的定义域为，求函数的定义域。 解析：由的定义域为，知中的，从而，对函数而言，有，解之得：。 所以函数的定义域为 总结：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的与的范围等同。 值域：解决抽象函数的值域问题——定义域、对应法则决定。 材料二：若函数的值域为，求函数的值域。 解析：函数中定义域与对应法则与函数的定义域与对应法则完全相同，故函数的值域也为。 总结：当函数的定义域与对应法则不变时，函数的值域也不会改变。 对称性：解决抽象函数的对称问题——定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法。 材料三：设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于（ ） A、直线对称 B直线对称 C直线对称 D直线对称 解法一（定义证明）：设点是函数的图象上的任意一点，则，关于直线的对称点为，要使点在函数的图象上，则，应有，故， 所以函数与的图象关于直线对称。 解法二（图象变换法）：由函数的图象向右平移1个单位得到函数的图象；由函数的图象关于轴对称得到函数的图象，再向右平移1个单位，得到的图象。如图所示，选D。 解法三（特值代入法）：由已知可得点在函数的图象上，点在函数的图象上，又点P、Q关于直线对称，选D。 总结：了解一些简单结论对解题也是很有好处的。如：函数满足，则函数的自对称轴为；函数与的互对称轴为，即 周期性：解决抽象函数的周期性问题——充分理解与运用相关的抽象式是关键。 材料四：设是定义在R上的奇函数，其图象关于直线对称。证明是周期函数。 证明：由的图象关于直线对称，得， 又是定义在R上的奇函数，所以 ，则 由周期函数的定义可知4是它的一个周期。 总结：一般地，,均可断定函数的周期为2T。 奇偶性：解决抽象函数的奇偶性问题——紧扣定义、合理赋值。 材料五：已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的，都满足：。判断的奇偶性，并证明你的结论。 解析：令，则，得； 令，则，得； 令，得，得 因此函数为奇函数。 总结：赋值是解决多变量抽象函数的重要手段。 单调性：解决抽象函数的单调性问题——紧密结合定义、适当加以配凑。 材料六：设是定义在[-1，1]上的奇函数，且对于任意的，当时，都有：。若，试比较与的大小。 解析：， ，，又， ，即。 总结：本题实质上是证明函数的单调性，有时也用到（或）来判断。抽象函数的单调性，一般不用导数判断。 可解性：由抽象式求解析式问题——视为未知数，构造方程（组）。 材料七：设函数满足……①，求。 解析：以代，得，……② 以代，得，……③ ①+③-②得： 所以 总结：在所给的抽象式中紧紧围绕，将其余的式子替换成，构造一个或几个方程，然后设法求解。 凹凸性：解决函数的凹凸性问题——捕捉图象信息，数形结合。 材料八：如图所示，是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的和，任意，恒成立”的只有（ ） A、 B、 C、 D、 解析：令，则不等式变为，可知函数是一个凹函数，故只有正确，选A。 总结：函数的凹凸性在高中阶段没有专门研究，但也逐渐走入高考殿堂。 总之，因为抽象函数密切联系函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等诸多性质，加上本身的抽象性、多变性，使得抽象函数这一难点更加扑朔迷离。因此应不断挖掘隐含，灵活运用上述解题策略，定会收到良好的效果。 课外练习： 函数是定义域在[0，1]上的增函数，满足且，在每个区间上，的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分。 （1）、求、及的值，并归纳出的表达式； （2）、直线，，轴及的图象围成的图形的面积为，记，求的表达式，并写出其定义域和最小值。（04，北京，18） 解析：（1）为了求，只需在条件中，令，即有。由及，得。同理。归纳。 （2）、时，， 。 故是首项为，公比为的等比数列，所以。的定义域是，当时取得最小值。