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第一讲 物理竞赛中的数学基础 一、勾股定理 勾股定理又叫毕氏定理：在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。  据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过 4000 年！又据记载，现时世上一共有超过 300 个对这定理的证明！ 勾股定理，主要应用是直角三角形中已知两边求第三边。 1、应用勾股定理求最短距离。　　我们已经学过平面内两点之间线段最短的道理，也就是说两点之间的所有连线，最短路线是两点之间的线段。但在立体图形中不同的侧面上两点之间，曲面上的两点之间的最短距离如何解决，我们分两个小问题来讲。　　(1)圆柱形物体上的两点的最短路线。　　圆柱体是立体图形，两点之间的连线绝大部分是曲线，应该不是最短的，但有人只凭直觉、感觉，认为如图所示的A→B→C的路线最短，是错误的。解决问题的方法是将圆柱的侧面展开转化为平面图形来解决。　　　　如图，将右上圆柱的侧面沿母线AB展开后是矩形ABB′A′，不难看出，从A到C的最短路线应是矩形ABCD的对角线AC，这时AC是一个直角三角形的斜边，可用勾股定理解决，其中矩形ABB′A′长、宽分别是圆柱的高与底面周长。　　　(2)长方体(或正方体)面上两点间的距离。　　长方体(或正方体)是立体图形，它的每个面都是平面，如果计算同一个面上两点之间的距离，则比较简单。如果计算不在同一个面上的两点之间的距离，就变成了两个平面之间的问题，必须将它们转化到同一个平面内。就需把长方体(或正方体)的侧面设法展开成为一个平面，且使计算距离的两个点所在的平面放在一起，这样可利用勾股定理解决问题。　　 　　如图，一个正方块，求A点到E点的最短距离，可把AA′D′D与A′B′C′D′展成一个平面，A与E之间的最短距离就是RtΔADE的斜边AE的长，可根据题目中给出的数据，用勾股定理加以解决。 　2、应用勾股定理可测量建筑物高度、河宽等，主要是在测量设计时构造直角三角形，其中两边可测，利用勾股定理求出无法直接测的距离，如测A、B间距离，可在与AB成90°的方向选一点C(可测出AC)，同时，CB可直接测得，可用勾股定理算出AB，AB2＝BC2－AC2。　　3、勾股定理的逆定理的应用，常用它在生产实践中检验一个角是否是直角，方法是观察两个较小边的平方和是否与最长边的平方相等 【例题分析】 【例1】如图，车床齿轮箱壳要钻两个圆孔，两孔中心的距离AB是122mm，两孔中心的水平距离BC是22mm，计算两孔中心的垂直距离。　　 【例2】如图，是一个二级台阶，每一级的长、宽、高分别为60cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有个小虫子，想到B点去吃东西，请你帮小虫子计算一下，沿着台阶从A到B最短的爬行路径是多少？　　 【例3】如图，在山顶上一电视发射塔，塔高AB为50米，在平地上点C处测得B的仰角是30°，A的仰角是60°，求小山BD的高。　　 【跟踪练习】 一位电脑动画爱好者设计了一个“猫捉老鼠”的动画游戏。如图1-2-3所示。在一个边长为的大立方体木箱的一个顶角A上，老鼠从猫的爪间逃出，选择了一条最短的路线，沿着木箱的棱边奔向洞口，洞口处在方木箱的另一顶角B处，若老鼠在奔跑中保持速度大小不变，并不重复跑过任一条棱边及不再回到A点。聪明的猫也选择了一条最短的路线奔向洞口（设猫和老鼠同时从A点出发），则猫奔跑的速度为多大时，猫恰好在洞口再次捉住老鼠？（答案：） 二、向量（矢量） 1．平面向量的有关概念： （1）向量的定义：既有____大小又有方向_________的量叫做向量. （2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的____长度_____表示向量的大小， 用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a，b，…或用，，…表示 2．向量的线性运算 2.1.向量的加法： （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 如图，已知向量a，b，在平面内任取一点，作a，b，则向量叫做a与b的和，记作a+b，即 a+b 特殊情况： 对于零向量与任一向量a，有 a a a （2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______ （3）运算律：____ a+b=b+a；_______，____（a+b）+c=a+（b+c）._______ 2.2.向量的减法： （1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法. 已知向量a、b，求作向量 ∵(a(b) + b = a + ((b) + b = a + 0 = a 减法的三角形法则作法：在平面内取一点O， 作= a, = b, 则= a ( b 即a ( b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量 注意： 表示a ( b强调：差向量“箭