数值计算方法教案插值方法.doc

复习： 1.数值计算方法的含义 2．误差及误差限 3.误差与有效数字 4.数值计算中应注意的问题 第二章 插值方法 一．插值的含义 问题提出： 已知函数在n+1个点上的函数值，求任意一点的函数值。 说明：函数可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值。 解决方法： 构造一个简单函数来替代未知（或复杂）函数，则用作为函数值的近似值。 二、泰勒（Taylor）插值 1.问题提出： 已知复杂函数在点的函数值，求附近另一点的函数值。 2.解决方法： 构造一个代数多项式函数，使得与在点充分逼近。 泰勒多项式为： 显然，与在点，具有相同的i阶导数值（i=0,1,…,n）。 3.几何意义为： 与都过点； 与在点处的切线重合； 与在点处具有相同的凹凸性； 其几何意义可以由下图描述，显然函数能相对较好地在点逼近。 4.误差分析（泰勒余项定理）： ，其中在与之间。 5.举例： 已知函数，求。 分析：本题理解为，已知“复杂”函数在=100点的函数值为，求的附近一点+15的函数值。 解： （1）构造1次泰勒多项式函数：。 其中，，，则有： 故有 误差分析： 函数在[100,115]区间绝对值的极大值为， 则有： 于是近似值10.75有三位有效数字。 几何意义：显然，也过点（100,10），且就是函数在点（100,10）处的切线，如下图所示。 （2）构造2次泰勒多项式函数： 。 把，及代入，有 。 分析误差 函数在[100,115]区间绝对值的极大值为，则有 于是近似值10.721875有四位有效数字。 运行文件taylor.m： %已知函数f(x)=x^(1/2)，求f(115) %一次泰勒插值 subplot(1,2,1); f=inline(x^(1/2)); p1=inline(5+0.05*x); fplot(f,[-50,300]); hold on fplot(p1,[-50,300]); plot(115,10.75,*) line([115,115],[0,10.75]) %二次泰勒插值 subplot(1,2,2); p2=inline(10+1/20*(x-100)-1/4000/2*(x-100)^2); fplot(f,[-30,300]); hold on fplot(p2,[-30,300]); plot(115,10.72,*) line([115,115],[0,10.72]) 可以得到以下图形： 6.泰勒插值存在的问题： 1.函数必须存在n+1阶导函数，即使存在n+1阶导数，计算的工作量也比较大； 2.要求h为个小量，若h较大，则计算的误差就很大。 三．拉格朗日（Lagrange）插值 1.问题提出： 已知函数在n+1个点上的函数值，求任意一点的函数值。 说明：函数可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值。 2.解决方法： 构造一个n次代数多项式函数来替代未知（或复杂）函数，则用作为函数值的近似值。 设，构造即是确定n+1个多项式的系数。 3.构造的依据： 当多项式函数也同时过已知的n+1个点时，我们可以认为多项式函数逼近于原来的函数。根据这个条件，可以写出非齐次线性方程组： 其系数矩阵的行列式D为范德萌行列式： 故当n+1个点的横坐标各不相同时，方程组系数矩阵的行列式D不等于零，故方程组有唯一解。即有以下结论。 结论：当已知的n+1个点的横坐标各不相同时，则总能够构造唯一的n次多项式函数，使也过这n+1个点。 4.几何意义 5．举例： 已知函数，求。 分析：本题理解为，已知“复杂”函数，当x=81,100,121,144时，其对应的函数值为：y=9,10,11,12，当x=115时，求函数值。 解： （1）线性插值：过已知的（100,10）和（121,11）两个点，构造1次多项式函数，于是有 则 。 （2）抛物插值：构造2次多项式函数，使得它过已知的（100,10）、（121,11）和（144,12）三个点。于是有2次拉格朗日插值多项式： 则有 10.72275550536420 6.拉格朗日n次插值多项式公式： 其中称为基函数（k=0,1,….,n），每一个基函数都是关于x的n次多项式，其表达式为： 拉格朗日公式特点： 1．把每一点的纵坐标单独组成一项； 2.每一项中的分子是关于x的n次多项式，分母是一个常数； 3.每一项的分子和分母的形式非常相似，不同的是： 分子是，而分母是 7.误差分析（拉格朗日余项定理） ， 其中在 所界定的范围内。 针对以上例题的线性插值，有 函数在[100,115]区间绝对值的极大值为， 则有： 于是近似值有三位有效数字。 针对以上例题的抛物线插值，有 函数在[100,115]区间绝对值的极大值为，则有 于是近似值10.7227555053