数值计算方法(版).doc

数值计算方法第1章　绪? 论 1.1　数值计算方法的对象与特点 　　1.1.1 什么是数值计算方法 　　现代的科学技术发展十分迅速，他们有一个共同的特点，就是都有大量的数据问题。 　　比如，发射一颗探测宇宙奥秘的卫星，从卫星设计开始到发射、回收为止，科学家和工程技术人员、工人就要对卫星的总体、部件进行全面的设计和生产，要对选用的火箭进行设计和生产，这里面就有许许多多的数据要进行准确的计算。发射和回收的时候，又有关于发射角度、轨道、遥控、回收下落角度等等需要进行精确的计算。 　　有如，在高能加速器里进行高能物理试验，研究具有很高能量的基本粒子的性质、它们之间的相互作用和转化规律，这里面也有大量的数据计算问题。 　　计算问题可以数是现代社会各个领域普遍存在的共同问题，工业、农业、交通运输、医疗卫生、文化教育等等，各行各业都有许多数据需要计算，通过数据分析，以便掌握事物发展的规律。 　　研究计算问题的解决方法和有关数学理论问题的一门学科就叫做计算方法。计算方法属于应用数学的范畴，它主要研究有关的数学和逻辑问题怎样由计算机加以有效解决。 　　1.1.2 数值计算方法的内容 　　数值计算方法也叫做计算数学或数值分析。数值计算方法主要内容包括非线性方程求根、线性代数方程组解法、微分方程的数值解法、插值问题、函数的数值逼近问题、概率统计计算问题等等，还要研究解的存在性、惟一性、收敛性和误差分析等理论问题。 　　我们知道五次及五次以上的代数方程不存在求根公式，因此，要求出五次以上的高次代数方程的解，一般只能求它的近似解，求近似解的方法就是数值分析的方法。对于一般的超越方程，如对数方程、三角方程等等也只能采用数值分析的办法。怎样找出比较简洁、误差比较小、花费时间比较少的计算方法是数值分析的主要课题。 　　在求解方程的办法中，常用的办法之一是迭代法，也叫做逐次逼近法。迭代法的计算是比较简单的，是比较容易进行的。迭代法还可以用来求解线性方程组的解。求方程组的近似解也要选择适当的迭代公式，使得收敛速度快，近似误差小。 　　在线性代数方程组的解法中，常用的有塞德尔迭代法、共轭斜量法、超松弛迭代法等等。此外，一些比较古老的普通消去法，如高斯法、追赶法等等，在利用计算机的条件下也可以得到广泛的应用。 　　在数值计算方法中，数值逼近也是常用的基本方法。数值逼近也叫近似代替，就是用简单的函数去代替比较复杂的函数，或者代替不能用解析表达式表示的函数。数值逼近的基本方法是插值法。初等数学里的三角函数表，对数表中的修正值，就是根据插值法制成的。 　　在遇到求微分和积分的时候，如何利用简单的函数去近似代替所给的函数，以便容易求微分和求积分，也是计算方法的一个主要内容。微分方程的数值解法也是近似解法。常微分方程的数值解法有欧拉法、预测校正法等。偏微分方程的初值问题或边值问题，目前常用的是有限差分法、有限元素法等。 　　有限差分法的基本思想是用离散的、只含有限个未知数的差分方程去代替连续变量的微分方程和定解条件。求出差分方程的解法作为求偏微分方程的近似解。 　　有限元素法是近代才发展起来的，它是以变分原理和剖分差值作为基础的方法。在解决椭圆形方程边值问题上得到了广泛的应用。目前，有许多人正在研究用有限元素法来解双曲形和抛物形的方程。 　　数值计算方法的内容十分丰富，它在科学技术中正发挥着越来越大的作用。 　　1.1.3 数值计算方法的特点 　　第一，面向计算机，要根据计算机特点提供实际可行的有效算法。即算法只能包括加、减、乘、除和逻辑运算，是计算机能直接处理的。 　　第二，有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。 　　第三，要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。 　　第四，要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值实验证明是行之有效的。 　　根据“数值计算方法”的特点，学习时我们要注意掌握方法的基本原理和思想，要注意方法处理的技巧及其与计算机结合，要重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论；其次，要通过例子，学习使用各种数值方法解决实际计算问题；最后，为了掌握本课的内容，还应做一定数量的理论分析与计算问题练习。由于本课内容包括了微积分、代数、常微分方程的数值方法，以及高级程序设计的方法，读者必须掌握这几门课的基本内容才能学好这一课程。 1.2　误差来源与误差分析 　　1.2.1 误差的来源 　　早在中学我们就接触过误差的概念，如在做热力学实验中，从温度计上读出的温度是23.4就不是一个精确的值，而是含有误差的近似值。事实上，误差的在我们的生活中无处不在，无处不有。如量体裁衣，量与裁的结果都