数学物理方程模拟题（考前打印）.doc

数学与统计学院 2007年12月 一. (20分) 判断下面方程的类型并通过自变量的变换将其化为标准型 二. (15) 利用叠加原理, 齐次化原理(Duhamel 原理) 叙述如下弦振动方程Cauchy 问 题 的求解过程, 并写出解的表达式. 三. (20分) 用傅里叶(Fourier) 变换法求解如下一维热传导方程 四. (20分) 用分离变量法求解弦振动方程的初边值问题 五. (15分) 对受摩擦力作用且具有固定端点的有界弦振动，满足方程 其中常数, 证明其能量是减少的，并由此证明方程 的初边值问题解的唯一性. 六. (10分) 设 为平面上的有界区域, 其边界 充分光滑, 考虑方程 其中, 为Laplace算子. (1) 证明: 如果 是方程的解, 那么, 不能在 内部取正的最大值, 也不能在 内部取负的最小值; (2) 证明: 上述方程 的第一边值问题最多只有一个解. 数学与统计学院 2007年12月 一. 1. (7分) 将方程 化成标准型. 2. (8分) 求解定解问题 二. (15分) 求下述问题的形式解 三. (20分) 设 是定解问题 的古典解, 其中 为有界区域, 为其边界, 为外法线方向, , 为已知函数, 且, , 为正常数. 求证在 上必有. 四. 1. (5分) 写出下述热传导方程初边值问题 的解的表达式, 其中 为光滑函数, . 2. (10分) 证明当时, 上述问题的解 关于 一致地收敛于零. 五. (20分) 证明双曲型方程混合问题 解的唯一性, 其中, , 为 上的连续函数. 六. (15分) 设 是以原点为中心, 以 为半径的圆域, 在 中调和, 且在 中一 阶连续可微. 试证: 数学与统计学院 2007年12月 一. (18分) (1) 判断下述方程的类型并将其化为标准型: ; (2) 判断下述方程类型并求其通解, 其中 为常数, 且. 二. (18分) 求解下述定解问题 三. (18分) 求下述Cauchy 问题的解 四. (16分) 设 为下述定解问题之解 试证明: (1) 当 适当大时, ”能量”积分 为 的单调不 增函数; (2) 当 时, 能量积分. 五. (12分) 求解 其中, , 表示单位球 边界上的外法向 导数. 六. (16分) (1) 记 为 中以原点为中心、以 为半径的球, 表示 的闭包, 设, 且在 中调和, 试证明: , . (2) 利用(1) 证明在全空间 中有界的调和函数一定是常数. 数学与统计学院 2007年12月 注意: 以下各题中的小题是分别计分的, 如不能完成上面的小题, 也可以直接完成下面小 题. 一. (20%) 给出定解问题(P) (i) 作未知函数代换, 其中 是新的未知函数, 是待定函数, 使得定解问 题(P) 化为关于 的定解问题(Q), 而且边界条件是齐次的. (ii) 设(P) 的边界条件是齐次的(即), 求(P) 的解. 二. (30%) 给出定解问题（P） (1) (2) (i) 判断方程(1) 的类型; (ii) 通过自变量的变换, 化(1) 为标准型; (iii) 求方程(1) 的通解; (iv) 求(P) 的解. 三. (20%) 设区域 (i) 求 的Laplace 方程第一边值问题的Green 函数; (ii) 求解边值问题 其中函数 连续, 且有界. 四. (30%) 考虑初边值问题(P) 其中常数, . (i) 证明: 如果, 则, 其中, , (). (ii) 用上述极值原理证明: (P) 最多只有一个解. (iii) 用能量方法证明: (P) 最多只有一个解. 数学与统计学院 2007年12月 注意: 以下各大题中每小题是独立的, 不回答前面的小题也可以回答后面的小题, 每题都 占总分的20%. 一. 1. 推导弦振动方程 的通解. 2. 证明方程 (, 为常数) 的通解可以表示为 其中, 为任意的二次连续可微函数 二. 考虑以下初边值问题 1. 引入新的未知函数, 将(P) 化为边界条件是齐次的初边值问题. 2. 如果, , 求解问题(P). (问题(P) 中, 是常 数). 三. 用能量方法证明以下初边值问题最多只有一个解 其中, , , 是区域 的边界, 且充分光 滑. 四. 设 是平面上的有界区域, 其边界 充分光滑. 考虑方程 其中常数, 是Laplace 算子. 1. 证明: 如果 是方程的解, 那么, 不能在 内部取正的最大 值, 也不能在 内部取负的最小值. 2.