新2012导数及应用.doc

导数及应用 命题角度 1导数的概念与运算 1．设，,…, ,n∈N,则 ( ) A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx [考场错解] 选C [专家把脉] 由=,,f3(x) =(-sinx)’=-cosx, ，，故周期为4。 [对症下药] 选A 2．已知函数在x=1处的导数为3，的解析式可能为 （ ） A．=(x-1)3+32(x-1) B．=2x+1 C．=2(x-1)2 D．=-x+3 =2e-xcosx令f’(x)=0,x=nπ+（n=1，2，3，…）从而xn=nπ+。f(xn)=e-( nπ+)(-1)n·=-e. ∴数列{f(xn)}是公比为q=-e-π的等比数列。 [专家把脉] 上面解答求导过程中出现了错误，即（e-x）’=e-x是错误的，由复合函数的求导法则知（e-x）’=e-x(-x)’=-e-x才是正确的。 [对诊下药]（1）证明：f’(x)=(e-x)’(cos+sinx)+e-x(cosx+sinx)’ =-e-x(cosx+sinx) +e-x(-sinx+cos) =-2e-xsinx. 令f’(x)=0得-2e-xsinx=0，解出x=nπ,(n为整数，从而xn=nπ(n=1,2,3,…)， f(xn)=(-1)ne-nπ,所以数列|f(xn)|是公比q=-e-π的等比数列，且首项f(x1)=-e-π (2)Sn=x1f(x1)+x2f(x2)+…+xnf(xn)=nq(1+2q+…+nqn-1) aSn=πq(q+2q2+…+nqn)=πq(-nqn)从而Sn=(-nqn) ∵|q|=e-π1 ∴qn=0,∴ 专家会诊1．理解导数的概念时应注意导数定义的另一种形式：设函数f(x)在x=a处可导，则的运用。2．复合函数的求导，关键是搞清复合关系，求导应从外层到内层进行，注意不要遗漏3．求导数时，先化简再求导是运算的基本方法，一般地，分式函数求导，先看是否化为整式函数或较简单的分式函数；对数函数求导先化为和或差形式；多项式的积的求导，先展开再求导等等。 命题角度 2导数几何意义的运用 1.曲线y=x3在点(1,1)的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形面积为_________. [考场错解] 填2 由曲线y=x3在点（1，1）的切线斜率为1，∴切线方程为y-1==x-1,y=x.所以三条直线y=x,x=0,x=2所围成的三角形面积为S=×2×2=2。 [专家把脉] 根据导数的几何意义，曲线在某点处的切线斜率等于函数在这点处的导数，上面的解答显然是不知道这点，无故得出切线的斜率为1显然是错误的。 [对症下药] 填。∵=3x2 当x=1时f’(1)=3.由导数的几何意义知，曲线在点（1，1）处的斜率为3。即切线方程为y-1=3(x-1) 得y=3x-2.联立得交点（2，4）。又y=3x-2与x轴交于（，0）。∴三条直线所围成的面积为S=×4×（2-）=。 2．设t≠0,点P（t,0）是函数=x3+ax与g(x)=bx3+c的图像的一个公共点，两函数的图像在P点处有相同的切线。（1）用t表示a、b、c；（2）若函数y=f(x)-g(x)在（-1，3）上单调递减，求t的取值范围。 [考场错解] （1）∵函数=x3+ax与g(x)=bx2+c的图像的一个公共点P(t,0).∴f(t)=g(t)t3+at=bt2+c. ①又两函数的图像在点P处有相同的切线，∴f’(t)=g’(t) 3t3+a=2bt. ②由①得b=t,代入②得a=-t2.∴c=-t3. [专家把脉] 上面解答中得b=t理由不充足，事实上只由①、②两式是不可用t表示a、b、c，其实错解在使用两函数有公共点P，只是利用f(t)=g(t)是不准确的，准确的结论应是f(t)=0，即t3+at=0，因为t≠0,所以a=-t2.g(t)=0即bt2+c=0,所以c=ab又因为f(x)、g(x)在（t,0）处有相同的切线， 所以f’(t)=g;(t).即3t2+a=2bt, ∵a=-t2, ∴b=t.因此c=ab=-t2·t=-t3.故a=-t2,b=t,c=-t3 (2)解法1 y=-g(x)=x3-t2x-tx2+t3 y’=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t). 当y’=(3x+t)(x-t)0时,函数y=f(d)-g(x)单调递减。 由y’0,若t0,则tx-,若t0,则-xt.则题意，函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减，则（-1，3）（-,t）或（-1，3）（t，-）所以t≥3或-≥3。即t≤-9或t≥3。又当-9t3时，函数y=f(x0-g(x)在（-1，3）上单调递增，所以t的取值范