《平面向量》第四节详解.ppt

无锡润智图书有限公司制作 平面向量的内积 谢谢！ * 一、学习要求 1.掌握平面向量内积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示； 2.平面向量内积的应用. 学法指导 （1）阅读教材，预习平面向量的坐标表示. （2）本学时的重点是理解平面向量内积的概念，平面向量内积的基本性质及运算律. 会进行平面向量内积的运算. 第 一 学 时 课堂探究 1.探究问题 【探究1】如图所示，吊车用5牛顿的力作用于一个物体，该力与物体位移的方向所成的角是60°，并使该物体发生了10米位移，这个力所做的功是多少？ 答案：由于图示的力f的方向与前进方向有一个夹角θ，真正使物体前进的力是f在物体前进方向上的分力，这个分力与物体位移的乘积才是力f做的功．即力f使物体位移s所做的功W可用下式计算: W＝｜s｜｜f｜cosθ 2.知识链接： （1）两个非零向量的夹角：已知非零向量a与b，作 ＝a， ＝b，则∠AOB＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角 （2）平面向量内积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫a与b的内积，记作a·b，即有a·b = |a||b|cosθ① 规定：0与任何向量的内积为0 ② 两个向量的内积是一个实数，不是向量，可以是正数、负数或零，符号由cos＜a，b＞的符号所决定. （3）向量内积的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积. （4）两个向量内积的性质 ① 当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b| 特别的a·a=|a|2或|a|= . ② cosθ=  ③ a⊥b a·b＝0 （5）平面向量内积的运算律 交换律：a·b = b·a 数乘结合律：(λa)·b =λ(a·b) = a·(λb) 分配律：(a+b)·c = a·c+b·c ? 3.拓展提高 例1 判断下列各命题正确与否 （1）0·a=0； （2）0·a=0； （3）若a≠0，a·b=a·c，则b=c； （4）若a·b=a·c，则b≠c时，当且仅当a=0时成立； （5）(a·b)·c=a·(b·c)对任意a，b，c向量都成立； （6）对任意向量a，有a2=|a|2 答案：（1）错；（2）对；（3）错； （4）错；（5）错；（6）对。 例2 已知|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a，求向量a与b的夹角. 设所求两向量的夹角为θ 因为 　 得 　　 所以 4.当堂训练 （1）下列各式中正确的是（ ） ① (λ·a)·b=a· (λb) ② |a·b|=|a|·|b| ③ (a·b)·c=a·(b·c) ④ (a+b)·c=a·c+b·c A.①③ B.②④ C.①④ D.以上都不对 （2）在△ABC中,若( + )·( － )=0,则△ABC为（ ） A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定 （3）若|a|=|b|=|a－b|,则b与a+b的夹角为（ ） A.30° B.60° C.150° D.120° （4）设|a|= 4,|b|=3,a,b夹角为60°，则|a+b|等于（ ） A.37 B.13 C. D. A C C C 学法指导 （1）阅读教材，预习运用平面向量的坐标求内积. （2）本学时的重点是理解运用平面向量的坐标求内积，并会进行平面向量内积的运算. 第 二 学 时 课堂探究 1.探究问题 【探究】平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算的表示方式也会改变. 向量的坐标表示，为我们解决有关向量的加、减、数乘向量带来了极大的方便. 上一学时，我们学习了平面向量的内积，看书归纳：向量的坐标表示对平面向量的内积a·b的表示方式会带来什么变化？ a·b = |a||b|cos? 还可以这样表示： ， 其中： 2.知识链接： 已知两个非零向量 ， ，则 （1） （2）两向量夹角? ( )的余弦 cos ? = （3） 3.拓展提高