1.2排列与逆序详解.ppt

引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ §2 排列及其逆序 在数学中，把考察的对象，如上例中的数字 1、2、3，叫做元素。 个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示. 由引例 同理 定义 由1,2,… 组成的一个有序数组称为一个 级排列 (把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（或排列）) 一、排列 n级排列123..n具有自然顺序，称为自然排列(由小到大) 例如 排列32514 中， 定义 在一个n级排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，称它们为逆序。 3 2 5 1 4 逆序 逆序 逆序 逆序 逆序 逆序数为5， 这是一个奇排列 （在一个排列 中，若数 ，则称这两个数组成一个逆序） 二、逆序 一个排列中 所有逆序的总数称为此排列的逆序数.记作 。逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列. 计算排列逆序数的方法 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数的个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数. 例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中, 3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1; 5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1; 于是排列32514的逆序数为 例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. 解 此排列为奇排列. 解: 因此，当 时， 当 时， 该排列为奇排列。 该排列为偶排列； 解 当 为偶数时，排列为偶排列， 当 为奇数时，排列为奇排列. 定义 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 例如 三、对换 在一个排列 中，将任意两个元素对调，其余元素不变，得到另一个排列 ，这样的变换称为一个对换，记为 ． 定理1.1　一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性． 证明 设排列为 对换 与 除 外，其它元素的逆序数不改变. 当 时， 经对换后 的逆序数不变 ， 的逆序数减少1. 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 经对换后 的逆序数增加1， 的逆序数不变。 当 时， 设排列为 ，现来对换 与 一般的情形： 相邻的情形： 次相邻对换 次相邻对换 次相邻对换 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 定理1.2：由1，2，3…,n这n个自然数组成的n级排列一共有n!个，其中奇偶排列各占一半. 任意一个n级排列都可以经过一系列对换变为自然排列，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性。 证明： 将 个奇排列的前两个数对换,则 这 个奇排列全变成偶排列,并且 它们彼此不同,所以 这 个偶排列全变成奇排列,并且 若将 个偶排列的前两个数对换, 则 它们彼此不同,于是有 故必有 (1)全部n级排列总数为 其中有s个奇排列,t个偶排列,现来证s=t. (2)数学归纳法证明任意一个n级排列都可以经过一系列对换变为自然排列 1级排列只有一个，结论显然成立 假设结论对n-1级排列已经成立，现证对n级排列的情形结论也成立 设 是一个n级排列 如果 ，那么根据归纳假设，n-1级排列 可以经过一系列变换变成12…(n-1)，于是这一系列变换也就把 变成12…n. 如果 ，那么对 作对换 ，它就变成 上面的情形 因此结论普遍成立 (3)奇排列对换成自然排列的对换次数为奇数， 偶排列对换成自然排列的对换次数为偶数. 由定理1.1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,而自然排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立. 解 例3 如果排列 的逆序数为s，排列 的逆序数是多少？ 中任意两个不同的数码 和 必在且仅在 中之一构成一个逆序 或 同时这两个排列的逆序总数为 因此， 的逆序总数为 作业 P35 A 1 (1)(2)(3)(4)(5)(6) 2 3(1)(2)(3)(4) 4(1)(2) * *