1.3.2函数极值与导数的关系(2课时)详解.ppt

1.3.2函数的极值与导数（1） 观察下图中P点附近图像从左到右的变化趋势、P点的函数值以及点P位置的特点 o a x1 x2 x3 x4 b x y P(x1,f(x1)) y=f(x) Q(x2,f(x2)) 函数y=f(x)在 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？ y=f(x)在这些点的导数值是多少？ 这这些点附近，y=f(x)的导数的符号有什么规律？ 函数极大值的定义： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点,都有 极大值与极小值同称为极值. 我们就说f (x0)是函数f(x)的一个极大值, 记作y极大值= f (x0)； f(x)﹤f (x0) 函数极小值的定义： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点,都有 f(x)f (x0) 我们就说f (x0)是函数f(x)的一个极小值, 记作y极小值= f (x0)； o a x1 x2 x3 x4 b x y P(x1,f(x1)) y=f(x) Q(x2,f(x2)) （1）极值是某一点附近的小区间而言的,是函数的局部性质; （3）极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小. （2）函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值； 观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什么关系? o a x0 b x y o a x0 b x y x x0左侧 x0 x0右侧 f?(x) f(x) x x0左侧 x0 x0右侧 f?(x) f(x) 增 增 减 减 极大值 极小值 若寻找可导函数极值点,可否只由f?(x)=0求得即可? 思考 探索: x =0是否为函数f(x)=x3 的极值点? x y O f (x)?x3 f?(x)=3x2 当f?(x)=0时，x =0，而x =0不是该函数的极值点. 注意： f?(x0) =0 是函数(可导)取得极值的 f?(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点 x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x) (可导)的极值点 f?(x0) =0 必要不充分条件 函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为( ) A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值 C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值 D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值 D 注意：极值点指的是自变量x, 极值指的是函数值y 解: ∵ f?(x)=x2- 4,由f?(x) =0解得 x1=2,x2=-2. 当x变化时, f?(x) 、 f(x)的变化情况如下表： f(x) f?(x) x ∴ 当x=2时,y极小值=28/3；当x=-2时, y极大值=-4/3. (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) + 0 0 - + 极大值28/3 极小值- 4/3 x x-1 -1 (-1,0) （0,1） 1 x1 + 0 - - 0 + 极大值 极小值 所以，当x=-1是，函数的极大值是-2，当x=1时，函数的极小值是2 导函数的正负是 交替出现的吗？ 不是 求可到函数极值的步骤： 图像与函数的极值 1 2 导函数y=f’(x)的图像如图，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出那些是极大值点，那些是极小值点？ X y O a x1 x2 x3 x4 x5 x6 b Y=f’(x) X2,x4为极值点 X2为极大值点 X4为极小值点 3 导函数y=f’(x)的图像如图，在标记的点中哪一点处 （1）导函数y=f’(x)有极大值？ （2）导函数y=f’(x)有极小值？ （3）函数y=f(x)有极大值？ （4）函数y=f(x)有极小值？ x1 x2 x3 x4 Y=f’(x) X y O X2 X4 X3 x5 X5 已知汽车在笔直的公路上行驶： （1）如果函数y=f(x)表示时刻t时汽车与起点的距离，请标出汽车速度等于0的点 （2）如果函数y=f(x)表示时刻t时汽车的速度，那么（1）中标出点的意义是什么？ y=f(t) 1、极值的判定方法 2、极值的求法 注意： 1、f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件 2、要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必须判断 f?(x0)=0左右侧导数的符号. 3 通过图像来观察函数的极值点 函数的极值与导数（2）