2.2.3平面向量数乘运算详解.ppt

2．2.3　向量数乘运算及其几何意义 * 复习回顾 1.平面向量加法、减法运算满足哪些法则？ 2.如何求作两个非零向量的和向量、差向量？ a b a a b b a+b a- b 问题提出 1.相同的几个数相加可以转化为数乘运算，如3＋3＋3＋3＋3=5×3=15.那么相等的几个向量相加是否也能转化为数乘运算呢？这需要从理论上进行探究. 2.一物体做匀速直线运动,一秒钟的位移对应的向量为a,那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？怎样用图形表示？ 探究一：向量的数乘运算及其几何意义 思考1：已知非零向量a，如何求作向量a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋ （－a）？ a a O a a A B C －a －a －a O M N P a＋a＋a （－a）＋（－a）＋（－a） 思考2：向量a＋a＋a和（－a）＋ （－a）＋（－a）分别如何简化其表示形式？ a＋a＋a记为3a， （－a）＋（－a）＋（－a）记为－3a. 思考3：向量3a和－3a与向量a的大小和方向有什么关系？ a a O a a A B C －a －a －a O M N P 向量的数乘运算的概念 实数λ与向量a的积是一个_____，这种运算叫做___________，记作_____，其长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|. 思考4：设a为非零向量，那么 a和 a还是向量吗？它们分别与向量a有什么关系？ a a a 结论： ①实数与向量的积仍是一个向量,向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定,大小由|λ|·|a|确定。 ②它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小。 探究二:向量的数乘运算性质 思考：你认为－2×（5a），2a＋2b， a可分别转化为什么运算？ -2× (5a)= -10a ； 2a ＋ 2b = 2(a+b)； (3＋ )a =3a＋ a. 向量数乘的运算律 ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb. 回答前面问题： 问题1.相等的几个向量相加也能转化为数乘运算，即向量的数乘运算 问题2.一物体做匀速直线运动,一秒钟的位移对应的向量为a,那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量是3a 想一想 向量与实数可以求积，那么向量和实数可以进行加减运算吗？ 提示：不可以．向量与实数不能进行加减运算，如1＋a和λ－a无法运算． 做一做 1.3a＋2b－(2a－b)＝________. 答案：a＋3b 例1 计算: (1)(-3)×4a; (2)3(a+b)-2(a-b)-a; (3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c). 题型探究 解:(1)原式=(-3×4)a=-12a; (2)原式=3a+3b-2a+2b-a=5b; (3)原式=2a+3b-c-3a+2b-c=-a+5b-2c. - 解：(1)原式＝18a－12b－18a＋9b ＝－3b. (1)λ·a的几何意义就是把a沿着与a相同(λ0时)或相反(λ0时)的方向伸长(|λ|1时)或缩短(|λ|1时)到原来的|λ|倍． (2)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，比如λ＋a，λ－a无法进行运算． (3)若λa=0，则可能有λ=0，也可能有a=0. 小结作业 作业： P91习题2.2A组：9