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2.4.2抛物线的简单几何性质 * 结合抛物线y2=2px(p0)的标准方程和图形,其的几何性质: (1)范围 (2)对称性 (3)顶点 x≥0,y∈R 关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴. 抛物线和它的轴的交点. 一、复习回顾: . y x o F (4)离心率 (5)焦半径 (6)通径 e=1 通过焦点且垂直对称轴的直线,与抛物线相交于两点,连接这两点的线段叫做抛物线的通径。 |PF|=x0+p/2 x O y F P 通径的长度:2P 离心率 通径 焦半径 顶点 对称性 范围 图 形 方程 y2 = 2px (p>0) y2 = -2px (p>0) x2 = 2py (p>0) x2 = -2py (p>0) l F y x O l F y x O l F y x O x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 y≤0 x∈R l F y x O 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) 2p 2p 2p 2p 1 1 1 1 特点: 1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线; 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的e=1; 5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. P越大,开口越开阔---本质是成比例地放大! 例1. 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点 M(2, )的抛物线有几条,求它的标准方程. 当焦点在x[或y]轴上,开口方向不定时, 设为y2=mx(m ≠0) [或x2=my (m≠0)],可 避免讨论! 二、例题选讲: K F O x y A B 例3 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴。 x y O F A B D 几何画板演示 * * *
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