2.3.1直线与平面垂直的判定(高中数学人教版必修二)详解.ppt

* 4－1.P 为△ABC 所在平面外一点，O 为 P 在平面 ABC 上的 射影． (1)若 PA ＝PB＝PC，则 O 是△ABC 的_____； (2)若 PA ⊥BC，PB⊥AC，则 O 是△ABC 的_____； (3)若 P 到△ABC 三边的距离相等，且 O 在△ABC 内部，则 O 是△ABC 的______； (4)若 PA 、PB、PC 两两互相垂直，则 O 是△ABC 的_____． 外心 垂心 内心 垂心 /yh/ 解析：(1)如图 23，∵PO⊥平面 ABC， ∴PA 、PB、PC 在平面 ABC 上的射影分别是 OA、OB、OC. 又∵PA ＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC. ∴O 是△ ABC 的外心． 图 23 图 24 (2)如图 24，∵PO⊥平面 ABC， ∴PA 在平面 ABC 上的射影是 OA. ∵BC⊥PA ，∴BC⊥OA. 同理可证 AC⊥OB， ∴O是△ ABC 的垂心．故填垂心． /283ty/ (3)如图 25， 图 25 P到△ ABC 三边的距离分别是 PD、PE、PF， 则 PD＝PE＝PF. ∵PO⊥平面 ABC，∴PD、PE、PF 在平面 ABC 上的射影 分别是 OD、OE、OF. ∴OD＝OE＝OF，且 OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC. ∴O是△ ABC 的内心，故填内心． /yhgw/ ∵PO⊥平面 ABC， ∴OA 是 PA 在平面 ABC 上的射影． 又∵PA ⊥PB，PA ⊥PC， ∴PA ⊥平面 PBC. 又∵BC?平面 PBC， ∴PA ⊥BC.∴OA⊥BC. 同理可证 OB⊥AC. ∴O是△ ABC 的垂心．故填垂心． (4)如图 26， 图 26 /yhylc/ 直线与平面垂直的性质定理的简单应用 例 1：如图 ，在四面体 P－ABC 中，若 PA ⊥BC， PB⊥AC， 求证：PC⊥AB. P A B C /yhbywz/ 思维突破：要证线线垂直，可先证线面垂直，进而由线面 垂直的定义得出线线垂直． 证明：过 P 作 PH⊥平面 ABC，垂足为 H，连接 AH、BH 和 CH. ∵PA ⊥BC, PH⊥BC，PA ∩PH＝P， ∴BC⊥平面 PAH. 又 AH?平面 PAH ，∴BC⊥AH. 同理 AC⊥BH，即 H 为△ABC 的垂心， ∴AB⊥CH. ∵PH⊥AB，CH∩PH＝H，∴AB⊥平面 PCH. ∵PC?平面 PCH，∴PC⊥AB. 点评：从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在 解(证)题中的作用． /yhyl/ 1. 已知：正方体中，AC是面对角线， BD′是与AC 异面的体对角线.求证：AC⊥BD′ A B D C A′ B′ C D ′ ′ /yhxsyl/ ∵正方体ABCD-A′B′C′D′ ∴DD′⊥正方形ABCD 证明：连接BD A B D C A′ B′ C′ D′ ∵AC、BD 为对角线∴AC⊥BD ∵DD′∩BD=D ∴AC⊥平面D′DB 且BD′?面D′DB ∴AC⊥BD′ /yhgfwz/ (1)自一点P向平面α引垂线，垂足P/叫做点P在平面α内的正射影(射影) (2)点P与垂足P/间的线段叫点P到平面α的垂线段 (3)如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成图形F/，则F/叫做图形F在这个平面内的射影 几个概念 /yhwz/ a A P o α 一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫斜足，斜线上一点和斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段． 平面外一点到这个平面的垂线段有且只有一条，而这点到这个平面的斜线段有无数条 斜线与斜线段 /yhyljt/ 从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫斜线在这个平面内的射影．垂足和斜足间的线段叫这点到平面的斜线段在这个平面上的射影 斜线在平面内的射影 /yhwzhi/ 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的夹角，叫做斜线和平面所成的角 (或斜线和平面的夹角). 简称线面角 斜线和平面所成的角 /amyh/ 斜线和平面所成的角 1、直线和平面垂直＝直线和平面所成的角是直角 直线和平面平行或在平面内＝直线和平面所成的角是0° 2、直线与平面所成的角θ的取值范围是：___________ 斜线与平面所成的角θ的取值范围是：______________ /amyhgw/ O P A α 斜线 斜足 线面所成角 （锐角∠PAO） 射影 关键：过斜线上一点作平面的垂线 线面所成的角 /amyhy