2.4.2_平面向量数量积的坐标表示、模、夹角详解.pptVIP

栏目导引 新知初探 思维启动 典题例证 技法归纳 知能演练 轻松闯关 第二章　平面向量 一、复习 1、数量积的定义： 2、投影： 3、数量积的几何意义： a·b=|a| |b| cosθ |b| cosθ叫做向量b在向量a方向上的投影 a·b等于a的长度|a|与向量b在向量a 方向上的投影 |b| cosθ的乘积 4.向量数量积的运算律 (1)a·b＝___________ (交换律)． (2)(λa)·b＝_______________ (结合律)． (3)(a＋b)·c＝______________ (分配律)． b·a λ(a·b)＝a·(λb) a·c＋b·c 5.向量的数量积的性质 设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角． (1)a⊥b?___________． (2)当a与b同向时，a·b＝_________， 当a与b反向时，a·b＝____________． a·b＝0 |a||b| －|a||b| |a|2 ≤ 探究 已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示a·b? ∵a=x1i+y1j, b=x2i+y2j, ∴a·b = (x1i+y1j) ·(x2i+y2j) = x1x2i2+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j2 = x1x2+y1y2 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 单位向量i, j分别与x轴,y轴方向相同 i· i =_____, j · j=______, i· j=______, j · i =_______. 1 1 0 0 2．4.2　平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 学习导航 预习目标 重点难点　 重点：平面向量数量积的坐标表示． 难点：利用坐标形式解决向量垂直、向量夹角等问题． 新知初探思维启动 1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 数量积 两个向量的数量积等于___________ ________，即a·b＝____________ 两个向量垂直 a⊥b?_________________ 相应坐标 乘积的和 x1x2＋y1y2 x1x2＋y1y2＝0 做一做 1.已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，则a·b＝________． 解析：a·b＝1×2＋2×3＝8. 答案：8 2.三个重要公式 做一做 2.已知向量a＝(0，1)，b＝(1，2)，则cos〈a·b〉＝________． 想一想 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则向量a在向量b方向上的投影怎样用a，b的坐标表示？ 典题例证技法归纳 题型探究 例1 已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)， 求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a＋b)·(a－b)． 【解】　(1)∵a＝(3，－1)，b＝(1，－2)， ∴a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5. 数量积的坐标运算 (2)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)， ∴(a＋b)2＝|a＋b|2＝42＋(－3)2＝25. (3)∵a＝(3，－1)，b＝(1，－2)， ∴a2＝32＋(－1)2＝10， b2＝12＋(－2)2＝5， (a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝10－5＝5. 【名师点评】　向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来． 已知a＝(1，2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得(1)a与b的夹角为直角； (2)a与b的夹角为钝角； (3)a与b的夹角为锐角． 两个向量的夹角问题 例2 两向量垂直的坐标运算 例3 变式训练 2.已知点A(1，2)和B(4，－1)，问能否在y轴上找到一点C，使∠ACB＝90°，若不能，请说明理由；若能，求出C点的坐标． 备选例题 2.设a＝(4，－3)，b(2，1)，若a＋tb与b的夹角为45°，求实数t的值． 3.已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1，0)，e2＝(0，1)． (1)试计算a·b与|a＋b|的值； (2)求向量a与b夹角的余弦值． 解：(1)a＝e1－e2＝(1,0)－(0,1)＝(1,－1), b＝4e1＋3e2＝4(1，0)＋3(0，1)＝(4，3)， 得a·b＝4×1＋3×(－1)＝1， 方法感悟 方法技巧 3.已知两向量的坐标，根据平面向量的数量积的定义和性质，可以求其数量积、长度和它们的夹角，此外，求解数量积的有关综合问题,应该注意函数思想与方程思想的运用. 失误防范 1.区分开a∥b?x1y2－x2y1