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栏目导引 新知初探 思维启动 典题例证 技法归纳 知能演练 轻松闯关 第二章 平面向量 一、复习 1、数量积的定义: 2、投影: 3、数量积的几何意义: a·b=|a| |b| cosθ |b| cosθ叫做向量b在向量a方向上的投影 a·b等于a的长度|a|与向量b在向量a 方向上的投影 |b| cosθ的乘积 4.向量数量积的运算律 (1)a·b=___________ (交换律). (2)(λa)·b=_______________ (结合律). (3)(a+b)·c=______________ (分配律). b·a λ(a·b)=a·(λb) a·c+b·c 5.向量的数量积的性质 设a与b都是非零向量,θ为a与b的夹角. (1)a⊥b?___________. (2)当a与b同向时,a·b=_________, 当a与b反向时,a·b=____________. a·b=0 |a||b| -|a||b| |a|2 ≤ 探究 已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示a·b? ∵a=x1i+y1j, b=x2i+y2j, ∴a·b = (x1i+y1j) ·(x2i+y2j) = x1x2i2+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j2 = x1x2+y1y2 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 单位向量i, j分别与x轴,y轴方向相同 i· i =_____, j · j=______, i· j=______, j · i =_______. 1 1 0 0 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 学习导航 预习目标 重点难点 重点:平面向量数量积的坐标表示. 难点:利用坐标形式解决向量垂直、向量夹角等问题. 新知初探思维启动 1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ. 数量积 两个向量的数量积等于___________ ________,即a·b=____________ 两个向量垂直 a⊥b?_________________ 相应坐标 乘积的和 x1x2+y1y2 x1x2+y1y2=0 做一做 1.已知向量a=(1,2),b=(2,3),则a·b=________. 解析:a·b=1×2+2×3=8. 答案:8 2.三个重要公式 做一做 2.已知向量a=(0,1),b=(1,2),则cos〈a·b〉=________. 想一想 向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则向量a在向量b方向上的投影怎样用a,b的坐标表示? 典题例证技法归纳 题型探究 例1 已知向量a=(3,-1),b=(1,-2), 求:(1)a·b;(2)(a+b)2;(3)(a+b)·(a-b). 【解】 (1)∵a=(3,-1),b=(1,-2), ∴a·b=3×1+(-1)×(-2)=3+2=5. 数量积的坐标运算 (2)a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3), ∴(a+b)2=|a+b|2=42+(-3)2=25. (3)∵a=(3,-1),b=(1,-2), ∴a2=32+(-1)2=10, b2=12+(-2)2=5, (a+b)·(a-b)=a2-b2=10-5=5. 【名师点评】 向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化,并将数与形紧密结合起来. 已知a=(1,2),b=(1,λ),分别确定实数λ的取值范围,使得(1)a与b的夹角为直角; (2)a与b的夹角为钝角; (3)a与b的夹角为锐角. 两个向量的夹角问题 例2 两向量垂直的坐标运算 例3 变式训练 2.已知点A(1,2)和B(4,-1),问能否在y轴上找到一点C,使∠ACB=90°,若不能,请说明理由;若能,求出C点的坐标. 备选例题 2.设a=(4,-3),b(2,1),若a+tb与b的夹角为45°,求实数t的值. 3.已知向量a=e1-e2,b=4e1+3e2,其中e1=(1,0),e2=(0,1). (1)试计算a·b与|a+b|的值; (2)求向量a与b夹角的余弦值. 解:(1)a=e1-e2=(1,0)-(0,1)=(1,-1), b=4e1+3e2=4(1,0)+3(0,1)=(4,3), 得a·b=4×1+3×(-1)=1, 方法感悟 方法技巧 3.已知两向量的坐标,根据平面向量的数量积的定义和性质,可以求其数量积、长度和它们的夹角,此外,求解数量积的有关综合问题,应该注意函数思想与方程思想的运用. 失误防范 1.区分开a∥b?x1y2-x2y1
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